2. Поняття дробу. Рівність дробів. Основна властивість дробів. Скорочення дробів та їх зведення до спільного знаменника. Нескоротні дроби.

2. Для виконання поставлених завдань введемо означення понять, які відносяться до нової числової множини.

Означення: пара чисел (m;n) або символ , де m і n – натуральні числа, називається звичайним дробом. Число, яке стоїть над рискою, називається чисельником, а число, яке стоїть під рискою, - знаменником дробу.

Знаменник дробу показує на скільки рівних частин поділено величину, а чисельник дробу - скільки таких рівних частин взято.

Означення: Дроби, що позначають одне і те ж саме дробове число, називають рівносильними або еквівалентними.

Наприклад, дробове число можна позначати 1, , , , ,..., ,..., а дробове число - можна позначити: , , , ... , , …

Означення: два дроби і називають рівними, якщо виконується рівність mq=np.

Символічно це означення можна записати так: .

Сформулюємо та доведемо теорему, яку в математиці називають основною властивістю дробів.

Теорема: якщо чисельник і знаменник дробу помножити чи поділити на довільне натуральне число, то дістанемо дріб, що дорівнює даному.

Доведення.

Розглянемо дріб і довільне mN. Помножимо чисельник і знаменник на m. Одержимо . Як показати, що ? – згідно означення про рівні дроби, а це дійсно так, бо p(qm)=q(pm), бо p, q і m N, для яких p(qm)=q(pm), адже справедливі переставний і сполучний закони множення. Аналогічно можна довести і другу частину теореми.

Виявляється, що основна властивість дробів знайшла широке застосування при виконанні таких операцій над дробами як скорочення дробів і зведення дробів до спільного знаменника.

Означення: скороченням дробу називається операція ділення чисельника і знаменника дробу на їхні спільні дільники, в результаті якої дріб замінюється рівносильним йому дробом з меншими числами.

Означення: зведенням дробів до спільного знаменника називається операція множення чисельника і знаменника на одне і те ж саме, відмінне від нуля число, в результаті якої даний дріб замінюється рівносильним йому, але з вказаним знаменником.

Означення: якщо чисельник дробу менший за знаменник, то дріб називають правильним. Якщо чисельник дробу більший за знаменник або дорівнює йому, то дріб називають неправильним.

Означення: дріб називають нескоротним, якщо найбільший спільний дільник чисельника і знаменника дорівнює 1.

Прикладом правильних дробів серед наступних є перший, другий і четвертий, а неправильним є третій. Прикладом нескоротних дробів є наступні

3. Невід’ємні раціональні числа та їх властивості.

3. Розширюючи множину цілих чисел, ми зазначали, що у новій числовій множині цілі числа повинні зберегтися. Для цього кожне ціле число буде позначати дробовим числом із знаменником 1. Наприклад, 0= , 1= , 2= тощо, де n – довільне ціле число. Тепер всі дроби можна розбити на класи, до кожного з яких входитимуть рівносильні дроби. Так, до першого класу віднесемо всі дроби рівносильні числу 0, до другого – рівносильні числу 1, тобто 1, , до наступного дроби, які дорівнюють , тобто , тощо. Всі дроби кожного класу визначають одне й те ж саме дробове число. Серед множини цих чисел є одне особливе. Це нескоротний дріб.

Означення: додатнім раціональним числом називається множина рівносильних йому дробів { , , , …, , …}.

Так, наприклад дробовим числом є множина рівносильних дробів , дробовим числом є множина рівносильних дробів . У математиці доведено теорему, яку ми приймемо без доведення і яка вказує на існування та єдиність такого дробу.

Теорема: для будь-якого додатного раціонального числа існує один і тільки один дріб, що його представляє, й такий, що чисельник і знаменник його взаємно-прості числа.

Означення: об’єднання множини невід’ємних цілих чисел та додатних дробів називають множиною невід’ємних раціональних чисел.

Символічно ця множина позначається так Q₀. Перейдемо до розгляду властивостей цієї множини. Цілком зрозуміло, що в множині додатних раціональних чисел повинні зберегтися деякі властивості, що були в множині цілих чисел. Крім того, ця нова числова множина повинна мати і нові властивості, яких не було в попередній числовій множині.

Означення: числова множина називається щільною в собі, якщо між будь-якими її двома елементами міститься безліч елементів цієї множини.

Теорема: множина невід'ємних раціональних чисел щільна в собі.