Розв’язання.

У задачі є п’ятиелементна множина М={1, 3, 5, 7, 9}. Із елементів цієї множини потрібно утворювати п’ятицифрові числа, причому жодна з цифр не повторюється, а оскільки одне п’ятицифрове число від іншого, утвореного з тих самих цифр буде відрізнятися навіть при переставлянні двох цифр, то нам слід утворювати перестановки без повторень із п’яти елементів. Отже у формулі: Р_n=n!, n=5. Р₅=5!=1•2•3•4•5=120. За допомогою п’яти цифр запишемо 120 чисел.

4. Комбiнацiї та їх властивості.

4. Розглянемо множину М={a₁, a₂, a₃,...,a_n}, де n(М)=n, i з’ясуємо, скільки k-елементних підмножин, де k≤n можна вибрати в цій множині М. Оскільки не вказано, що ці підмножини впорядковані, то одна підмножина повинна відрізнятися від другої принаймні одним елементом, а порядок розміщення елементів не має значення. В комбінаториці такі підмножини називаються комбінаціями із даних n елементів по k елементів, а їх число позначають символом С_n^k. Цей символічний запис читають так: число комбінацій із n елементів по k елементів.

Означення: будь-яка k елементна підмножина АМ даної n елементної множини М називається комбінацією із n елементів по k.

Із наведеного означення випливає, що комбінація – це множина, а тому одна комбінація від іншої відрізняється або принаймні одним елементом, або складом елементів. Одне розміщення із елементів множини М вiдрiзняється від іншого розміщення із елементів цієї ж множини або принаймні одним елементом, або складом елементів, або порядком їх розташування. Одна перестановка відрізнялася від іншої перестановки елементів цієї ж множини М порядком розташування елементів. Виведемо формулу для обчислення числа комбінацій.

Теорема: число комбінацій із даних n елементів по k елементів (k≤n) дорівнює дробові, чисельник якого дорівнює добутку k послідовних натуральних чисел, із яких найбільшим є n, а знаменник дорівнює добутку перших k натуральних чисел.

Символічно формула для обчислення числа комбінацій із даних n елементів по k елементів запишеться так: С_n^k=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k)=n!/((n-k)!k!).

Доведення.

Виберемо в множині М={a₁, a₂, a₃,...,a_n} деяку k елементну підмножину А, де k≤n. Оскільки множина А містить k елементів, то із елементів цієї множини можна утворити k! перестановок. Як відомо i розміщення, i комбiнацiї являють собою підмножини даної множини, тільки розміщення - це впорядковані підмножини. Тоді розміщень із даних k елементів можна утворити більше в стільки разів, скільки можна утворити перестановок із даних k елементів. Число розміщень позначається А_n^k, число комбінацій С_n^k, число перестановок Р_{n. Отже,} А_n^k=С_n^k•Р_{n. Звідси} С_n^k=А_n^k/Р_{n. Підставляючи значення числа розміщень і перестановок, одержимо дві формули для обчислення числа комбінацій із даних n е лементів по k елементів: 1)} С_n^k=(n•(n-1)•(n-2)•...•(n-k+1))/(1•2•3•...•k); 2) С_n^k=n!/((n-k)!•k!). Теорему доведено.

Задача: скільки грошей потрібно витратити, щоб закупити таку кiлькiсть карточок спортлото 6 із 49, щоб, перебравши всі можливі комбiнацiї, точно вгадати 6 номерів.