Доведення.

Для спрощення викладок розглядатимемо дроби з однаковими знаменниками. Оскільки у формулюванні теореми є словосполучення «тоді і тільки тоді», то доведення складатиметься з двох частин: 1) якщо різниця - існує, то  ; 2) якщо  , то різниця - існує.

Доведемо першу частину. Оскільки різниця - існує, то маємо - = , де mp, а тому  (Чому?!). Першу частину доведено. Для доведення другої частини використаємо те, що  . Оскільки  , то різниця - - додатна, а тоді - = - також додатна. Це означає, що m-p0. Отже, число m-p належить множині Z₀. Таким чином, різниця - існує. Теорему доведено повністю.

Теорема: якщо різниця невід’ємних раціональних чисел існує, то вона єдина.

Доведення цієї теореми пропонуємо провести методом від супротивного самостійно.

6. Множення і ділення невід’ємних раціональних чисел. Теореми про існування та єдиність добутку та частки. Властивості (закони) множення.

6. При означенні операцій множення та ділення невід’ємних раціональних чисел будемо враховувати вимогу про те, щоб нові означення не суперечили правилам виконання дій множення і ділення цілих чисел. Як відомо, 1•3=3, що означає • = = . Отже, приймемо наступне означення.

Означення: добутком двох дробів будемо називати дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників даних дробів, а знаменник – добутку знаменників.

Символічно означення можна записати так:  . Прийняте означення можна поширити на будь-яке скінченне число співмножників. Оскільки в означенні нічого не говориться про існування, єдиність і властивості цієї операції, то необхідно сформулювати та довести відповідні теореми.

Теорема 1: операція множення в множині невід’ємних раціональних чисел існує і єдина.

Доведення.

Для доведення теореми розглянемо два невід’ємних раціональних числа і , де m, n, p, q – натуральні числа. Згідно означення операції множення • = . За умовою m,n,p,qєN, а тому mp і nq – також натуральні числа. Отже, добутки mp і nq існують і єдині. Саме тому дробове число існує і єдине. Теорему доведено.

Теорема 2: операція множення невід'ємних раціональних чисел підкоряється комутативному та асоціативному законам, а з операцією додавання пов’язана дистрибутивним законом.

Символічно цю теорему можна записати так: 1) ( Q₀)( Q₀)( • = • ), де , Q₀, - переставна (комутативна) властивість множення; 2) ( Q₀)( Q₀)( сQ₀)(( • ) = (  )), де , , Q₀, – сполучна (асоціативна) властивість множення; 3) ( Q₀)( Q₀)( Q₀)(( + )• = • + • ), де , , Q₀, розподільна (дистрибутивна) властивість множення відносно додавання.

Доведення.

Пропонуємо студентам комутативний закон множення довести самостійно. Для доведення асоціативності множення розглянемо три невід’ємних раціональних числа а, b і с таких, що а= , b= , с= . Тоді згідно означення операції множення маємо: (аb)с=(  ) =( ) = .

Аналогічно доводимо дистрибутивність операції множення відносно додавання, а саме: якщо а, b, с – невід’ємні раціональні числа такі, що а= , b= і с= , то маємо: (а+b)с=( + ) = = ас+bс. Теорему доведено повністю.

Означення: часткою від ділення невід’ємного раціонального числа а на додатне раціональне число b називається невід’ємне раціональне число с=а:b таке, що а=bс.

В означенні нічого не говориться про існування та єдиність такої операції. Саме тому слід сформулювати та довести відповідну теорему.

Теорема: операція ділення в множині невід’ємних раціональних чисел існує і єдина.