Малюнок № 7.12.

Провівши через точки поділу прямі, паралельні осям координат, ми отримаємо на площині ХОУ сітку квадратів нульового рангу. Нехай m_е(АВ)=а і m_е(АД)=b. Тоді на кожній стороні квадрата вміщуватиметься ціле число таких квадратів. Підрахувавши число квадратів, які покривають прямокутник АВСД, ми знайдемо площу прямокутника. Довжини сторін прямокутника АВСД можуть виражатися, по-перше, натуральними числами, по-друге, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є раціональним числом, по-третє, - довжина хоча б однієї із сторін прямокутника є ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. У першому випадку число квадратів дорівнюватиме добутку чисел, які показують скільки одиничних відрізків вміщується у стороні. Отже, площа прямокутника в першому випадку дорівнює добутку довжин його суміжних сторін S=ab.

Якщо довжина хоча б однієї сторони прямокутника виражається раціональним числом, то побудуємо на площині ХОУ координатну сітку квадратів відповідного рангу. В цьому випадку на кожній стороні прямокутника вміщуватиметься ціле число квадратів відповідного рангу. Підрахуємо число таких квадратів, а оскільки довжини сторін цього прямокутника будуть виражатися десятковими дробами, то в цьому випадку число квадратів покриття дорівнюватиме добутку довжин суміжних сторін. Для прикладу нехай а=3,25, b=7,56. Тоді S=3,257,56=24,57.

Нехай принаймні одна сторона прямокутника виражається ірраціональним числом, тобто нескінченним неперіодичним десятковим дробом. Тоді, якими б не були квадрати покриття певного рангу, принаймні на одній стороні прямокутника не вміщуватиметься їх ціле число. У цьому випадку число квадратів покриття доведеться підраховувати з недостачею, коли знайдемо число квадратів, які складаються тільки із внутрішніх точок прямокутника, або з надлишком – коли підрахуємо число квадратів певного рангу, які повністю покривають прямокутник АВСД. Якщо m_е(АВ)= і m_е(АД)=, то для знаходження площі прямокутника слід знайти добуток дійсних чисел, тобто S=. Таким чином, теорему доведено повністю. Цілком зрозуміло, що ми для спрощення викладок лише описали доведення теореми в другому та третьому випадках.

Користуючись цієї теоремою виведемо формули для обчислення площі деяких геометричних фігур.

Теорема 4: площа прямокутного трикутника дорівнює півдобутку довжин його катетів (див. малюнок № 7.13.).

Доведення:

А Д

С В

Малюнок № 7.13.

Нехай АВС (мал. №19) – прямокутний трикутник (АСВ=90), де m_е(АС)=а і m_е(СВ)=b. Добудуємо його до прямокутника, провівши через вершини А і В прямі, паралельні відповідно сторонам СВ і АС. Одержимо прямокутник АДВС, площа якого відповідно до попередньої теореми дорівнюватиме аb. Оскільки АДВ=АВС, то 2S(АВС)=S(АДВC). Отже, S(АВС)=¹/₂S(АДВC)=¹/₂аb. Теорему доведено.

Теорема 5: Площу будь-якого трикутника можна обчислювати за формулами: 1) S=¹/₂аh, де а – довжина основи, h – довжина висоти, опущеної на сторону а; 2) S=¹/₂аbsin, де а і b – довжини суміжних сторін трикутника,  - величина кута між цими сторонами; 3) S=(p(p-a)(p-b)(p-c)), де а, b і с – довжини сторін трикутника, p=¹/₂(а+b+c).