4. Обернена пропорційність, її властивості та графік.

4. Розглядаючи прямо пропорційні величини, ми встановили, що вони задаються формулою у= kх. Сформулюємо означення обернено пропорційних величин.

Означення: дві величини називаються обернено пропорційними, якщо із збільшенням (зменшенням) однієї величини у кілька разів інша величина зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Означення: функцією оберненої пропорційності називається функція виду у=k/х, де k≠0 і kєR.

Розглянемо властивості функції у=k/х. Оскільки для знаходження значення у за відомим значенням х необхідно виконати дію ділення, яка в множині дійсних чисел не існує лише для ділення на нуль, то областю визначення цієї функції буде множина дійсних чисел крім нуля. Отже, D(k/x)=(-∞;0)(0;+∞). Для визначення проміжків монотонності функції виберемо два довільних значення аргументу х₁ і х₂ таких, що х₁>х₂. Тоді 1/ х₁<1/х₂. Якщо k>0, то k/х₁>k/х₂, тобто f(х₁)<f(х₂). Це означає, що при k>0 функція оберненої пропорційності спадає на всій області визначення. Якщо k<0, то із нерівності 1/х₁<1/х₂ випливає k/х₁>k/х₂, тобто f(х₁)>f(х₂). Це означає, що при k<0 функція оберненої пропорційності зростає на всій області визначення.

Для того, щоб визначити парною чи непарною є ця функція, відповідно до означення непарних функцій маємо: f(-х)=k/(-x)= -k/x= -f(х), тобто справедлива рівність f(-х)= -f(х). Це означає, що функція у=k/х є непарною, а її графік повинен бути симетричним відносно початку координат. Із шкільного курсу математики відомо, що графіком функції у=k/х є гіпербола, яка розміщена у першій та третій координатних кутах, якщо k>0, і в другій та четвертій чверті, якщо k<0. Особливою точкою функції є точка з координатами (0;0). Якщо х прямує до нуля, залишаючись меншим за х, то при k>0 функція у=k/х прямує до -∞. Якщо ж х прямує до нуля, залишаючись більшим за нуль, то функція прямує до +∞. Якщо х прямує до нуля, залишаючись меншим за х, то при k<0 функція у=k/х прямує до +∞. Якщо ж х прямує до нуля, залишаючись більшим за нуль, то функція прямує до -∞. Оскільки для кожного значення аргументу х≠0 і хєR, можна знайти відповідне йому значення функції уєR, яке не дорівнює нулю, то множиною значень функції у=k/х є множина таких дійсних чисел, для яких хє(-∞;0)(0;+∞), тобто Е(k/x)=(-∞;0)(0;+∞).

5*. Квадратична функція, її властивості та графік.

5. Означення: функція виду y=ax²+bx+c, a,b,cєR, a≠0 називається квадратичною функцією.

Областю визначення квадратичної функції є множина всіх дійсних чисел, бо для знаходження значення функції за заданим значенням аргументу необхідно виконати дії додавання і множення, які в множині дійсних чисел завжди виконуються. Функція не відноситься ні до парних, ні до непарних, бо y(-x)=a(-x)²+b(-x)+c=ax²-bx+c=-(-ax²+bx-c), тобто не виконується жодна з рівностей f(-х)=f(х) чи f(-х)= -f(х).

Знайдемо проміжки монотонності функції, виділивши попередньо повний квадрат: . Якщо a>0, то функція спадає на проміжку , а зростає на . Якщо a<0, то функція зростає на проміжку , а спадає на . При a>0 функція має найменше значення , при . При a<0 функція має найбільше значення при , що дорівнює . Графіком функції є парабола, вітки якої при a>0 напрямлені вверх, а при a<0 – вниз. Множиною значень функції при a>0 є проміжок , а при a<0 - .