2. Алгоритми арифметичних операцій над цілими невід’ємними числами у десятковій системі числення.
2. Ми вже зазначали, що означення арифметичних операцій та їх властивості не залежать від системи числення, а от техніка виконання операцій змінюється. Саме тому розглянемо сутність техніки виконання операцій над цілими невід’ємними числами в позиційній системі числення. Для успішного виконання арифметичних операцій додавання, віднімання, множення та ділення в усіх позиційних системах числення використовують таблиці додавання, віднімання, множення та ділення. Для прикладу наведемо таблиці додавання одноцифрових чисел у двійковій та дев’ятірковій системах числення (див. таблицю № 4.1.).
Таблиця № 4.1. Таблиці додавання у двійковій та дев’ятірковій системах числення.
Таблиця додавання у двійковій системі числення |
Таблиця додавання у дев’ятірковій системі числення |
|||||||||||||
|
0 |
1 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
|
1 |
1 |
10 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
||||
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
||||
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
||||
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
||||
6 |
6 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
||||
7 |
7 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
||||
8 |
8 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
||||
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
20 |
||||
Правила додавання багатоцифрових чисел у будь-якій системі числення ґрунтуються на правилі додавання суми до суми. Ці правила дають змогу додавати «в стовпчик», записуючи доданки один під другим та починаючи додавання з нижчих розрядів. Якщо сума одиниць одного розряду перевищує основу системи числення, то на місці цього розряду записують остачу від ділення суми на основу системи числення, а частку додають до наступного розряду. Приклади додавання чисел у п’ятірковій та десятковій системі числення представлені у таблиці № 4.2.
Таблиця № 4.2. Приклади додавання у п’ятірковій та дев’ятірковій системах числення.
34245 +23435 113225 |
1239 +3219 4449 |
Віднімання чисел в системах числення, відмінних від десяткової, також виконується на основі таблиць віднімання, одну із яких представлено у наступній таблиці № 4.3. для системи числення з основою 4. Правило віднімання багатоцифрових чисел базується на таблицях віднімання та на алгоритмі віднімання, який представлено у таблиці № 4.4 для десяткової та шестіркової систем числення.
Таблиця № 4.3. Таблиця віднімання для системи числення з основою 4.
- |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
2 |
|
|
0 |
1 |
3 |
|
|
|
0 |
Таблиця № 4.4. Віднімання для систем числення з основами 9 і 6.
843219 -754329 77789 |
52016 -34536 12046 |
Множення у будь-якій позиційній системі числення розпочинається із складання таблиць множення. Так, у шестірковій системі числення таблиця множення матиме вигляд, представлений у таблиці № 4.5. Множення розглядається як додавання однакових доданків. Алгоритм множення в усіх позиційних системах числення однаковий за формою (див. таблицю № 4.6.).
Таблиця № 4.5. Таблиця множення у системі числення з основою 6.
× |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
2 |
0 |
2 |
4 |
10 |
12 |
14 |
3 |
0 |
3 |
10 |
13 |
20 |
23 |
4 |
0 |
4 |
12 |
20 |
24 |
32 |
5 |
0 |
5 |
14 |
23 |
32 |
41 |
Виконання дій ділення у системах числення, відмінних від десяткової, потребує дуже доброго знання відповідних таблиць множення цієї системи числення, а тому ми обмежимося лише розглядом конкретних прикладів, представлених у таблиці № 4.7. Принагідно зазначимо, що порядок виконання арифметичних операцій у будь-якій позиційній системі числення зберігається.
Таблиця № 4.6. Множення у системах числення з основами 6 і 9.
3456 × 246 2312 1134 140526 |
2479 ×349 1111 + 753 86419 |
Таблиця № 4.7. Приклади ділення у дев’ятірковій системі числення.
174 -156 138 -132 52 -48 3 |
4824829 2419 - 482 20029 482 -482 0 |
4224829 249
-24
16529
3. Запис чисел у позиційних системах числення, відмінних від десяткової. Арифметичні операції над числами у недесяткових позиційних системах числення. Перехід від запису чисел в одній позиційній системі числення до запису в іншій позиційній системі числення.
3. Як же виконувати арифметичні дії над числами, записаними у різних системах числення? – можливі два варіанти: 1) перевести числа в десяткову систему числення, виконати відповідні дії, а потім перейти до потрібної системи числення; 2) звести числа до однієї системи числення, виконати відповідні дії, а потім перейти до потрібної системи числення. Для того, щоб користуватися кожним із наведених варіантів, слід навчитися переходити від однієї системи числення до іншої.
Розглянемо як перейти від десяткової системи числення до іншої позиційної системи числення. Записати число у деякій позиційній системі числення з основою q означає зазначити, скільки в ньому міститься окремих одиниць першого, другого, третього тощо розрядів. Це можна зробити послідовним діленням натурального числа, записаного у десятковій позиційній системі числення, на основу необхідної системи числення. Поділивши натуральне число, записане у десятковій позиційній системі числення, на основу системи числення, ми одержимо першу остачу, яка дорівнюватиме цифрі першого розряду. Поділивши першу частку на основу нової системи числення, ми одержимо другу остачу, яка дорівнюватиме кількості одиниць другого розряду тощо. Цей процес ділення слід продовжувати доти, доки у частці не отримаємо число, менше за основу нової системи числення. Після цього записавши остачі від останньої до першої отримаємо зображення числа у новій системі числення. Покажемо сказане на конкретному прикладі.
Вправа: представити число 735 у системі числення з основою 6.