3. Метод математичної індукції.

3. У свою чергу аксіома індукції, тобто аксіома 4, є теоретичною основою способу доведення тверджень, який одержав назву методу математичної індукції. Доведення методом математичної індукції ґрунтується на аксіомі 4 і складається з таких етапів: 1) перевіряємо істинність твердження при n=1 або n=2 (якщо маємо справу із сумою); 2) припускаємо, що наше твердження істинне при n=к, де к>1; 3) виходячи із припущення, пробуємо довести справедливість твердження при n=к'=к+1; 4) на основі аксіоми індукції робимо висновок про справедливість твердження для всіх цілих невід’ємних чисел. Сутність доведення тверджень цим методом розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1: довести, що 1²+2²+3²+…+n²= .

Доведення:

1) перевіримо справедливість цього твердження при n=2, бо ліва частина рівності є сумою. Для цього знайдемо суму перших двох доданків лівої частини і порівняємо його із значенням правої частини рівності при n=2. Маємо: 1²+2²=1+4=5. . Отже, 5=5. Твердження при n=2 справедливе (якщо б воно було хибним, то далі проводити доведення не потрібно!);

2) припускаємо, що твердження справедливе при n=к, тобто 1²+2²+3²+…+к²= ;

3) виходячи із припущення, тобто із того, що сума квадратів перших к натуральних чисел дорівнює , спробуємо довести, що сума перших к+1 натуральних чисел дорівнює . Утворимо в лівій частині даної рівності суму квадратів перших к+1 натурального числа. Для цього до лівої частини припущення додамо квадрат ще одного числа, тобто маємо: 1²+2²+3²+…+к²+(к+1)². Суму перших к доданків, згідно припущення, можна замінити виразом . У других дужках маємо квадратний тричлен, який можна розкласти в добуток лінійних множників згідно формули: ах²+вх+с=а(х–х₁)(х–х₂), де х₁ і х₂ – корені квадратного тричлена. Щоб розкласти квадратний тричлен 2к²+7к+6 на лінійні множники, розв'яжемо квадратне рівняння: 2к²+7к+6=0. Оскільки D=49–48=1>0, то к₁=-2; к₂=-3/2. Отже, 2к²+7к+6=2(к+2)(к+3/2)=(к+2)(2к+3). Тоді маємо = . Таким чином, ми одержали той вираз, який було потрібно;

4) отже, на основі аксіоми індукції, ми можемо твердити, що рівність справедлива для будь-якого натурального числа. Справедливість рівності доведено.

Приклад 2. Довести, що для будь-якого натурального n справедлива рівність: .

Доведення:

1) перевіримо справедливість твердження при n=2: . Твердження, при n=2 справедливе;

2) припустимо, що наше твердження справедливе при n=к, тобто ;

3) виходячи із припущення, спробуємо довести, що сума к+1 доданку лівої частини дорівнює . Щоб записати в лівій частині суму к+1 доданка до лівої частини припущення додамо ще один доданок. = Суму перших к доданків, згідно припущення, замінимо виразом: = = . Щоб розкласти чисельник на множники, розв’яжемо рівняння: 3к²+4к+1=0. к₁=-1, к₂=-1/3. = те, що і треба було довести.

4. Аксіоматичне означення додавання цілих невід’ємних чисел в аксіоматичній теорії. Таблиці і закони додавання.

4. Операцію додавання на множини цілих невід’ємних чисел також введемо аксіоматично. Для цього сформулюємо дві додаткові аксіоми, які визначають в множині цілих невід’ємних чисел бінарну алгебраїчну операцію, яка однозначно визначена і задовольняє аксіомам 5 – 6.

Означення: додаванням цілих невід’ємних чисел називається бінарна алгебраїчна операція (якщо вона існує!), яка кожній парі цілих невід’ємних чисел (а,в)єZo² ставить у відповідність ціле невід’ємне число (а+в)єZo, таке, що виконуються аксіоми 5 і 6.

Аксіома 5: для будь–якого цілого невід’ємного числа справедлива рівність а+0=а (символічно ці аксіома запишеться так: (аєZo)(а+0=а). Вона визначає операцію додавання з нулем).

Аксіома 6: (а,вєZo)(а+в'=(а+в)').

Інколи можна зустріти і таке формулювання аксіом:

Аксіома 5: при додаванні нуля до будь-якого цілого невід’ємного числа отримуємо те саме ціле невід’ємне число (символічно ця аксіома запишеться так: (VаєZ_o)[а+0=х]).

Аксіома 6: при додаванні до а будь-якого цілого невід’ємного числа, яке безпосередньо слідує за числом в, отримуємо ціле невід’ємне число, яке безпосередньо йде за числом а+в (символічно ця аксіома запишеться так: (Vа,вєZ_o)[а+в'=(а+в)']. Саме така рівність обумовлена тим, що в'=в+1, а тоді а+в'=а+(в+1)=(а+в)+1=(а+в)').

Ввівши аксіоматичне означення операції додавання цілих невід’ємних чисел, ми нічого не знаємо про її існування та єдиність. Саме тому слід довести відповідні теореми.

Теорема 1: (про існування та єдиність операції додавання): операція додавання в множині Z_o цілих невід’ємних чисел існує і єдина або існує одне і тільки одне відображення f : Z_o²Z_o, яке кожній парі (а,в)єZ_o ставить у відповідність єдине ціле невід’ємне число (а+в)єZ_o .