6.2. Операція імплікації предикатів.

6.2. Для того, щоб визначити операцію імплікації предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „якщо х – склав всі екзамени, то він набрав прохідний бал” – імплікацією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: імплікацією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на тій самій множині Х і який хибний при всіх тих хХ, при яких предикат А(х) – істинний, а предикат В(х) – хибний.

Оскільки при оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності, то знайдемо множину істинності предиката А(х)→В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)→В(х), тобто Т_А→_В, можна використати міркування або діаграми Ейлера-Венна. Зазначимо, що міркуваннями множину істинності Т_АВ можна знайти, використавши рівність А(х) В(х)=Ā(х)В(х). Отже, маємо: Т_АВ =Т_АТ_В=Т_АТ_В.

Відомо, що предикат А(х)В(х) буде хибним для тих значень хєХ, для яких предикат А(х) істинний, а предикат В(х) – хибний, тобто на множині Т_АТ_В =Т_АТ_В = Т_А  Т_В. Отже, множиною істинності предиката А(х)В(х) – є об'єднання множини істинності предиката В(х) і доповнення до множини істинності предиката А(х) (див. діаграму № 2.6.).

Діаграма № 2.6. Зображення множини істинності імплікації Т_А_В=Т_АТ_В.

Чи розглядають імплікації в шкільному курсі математики? – так, але найчастіше розглядаються імплікації, які істинні при всіх хХ. Прикладами таких предикатів можуть бути такі: „Якщо число закінчується цифрою 5, то воно ділиться на 5”; „Якщо протилежні сторони чотирикутника попарно паралельні, то такий чотирикутник є паралелограмом”.

7. Операція еквіваленції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції еквіваленції.

7.1. Операція еквіваленції висловлень.

7.1. Ми вже розглянули чотири операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали: частка не; сполучники і, або; слова чи словосполучення «якщо…, то…», «випливає», «слідує», «імплікує». У математиці досить часто використовуються словосполучення «тоді і тільки тоді», «необхідно і достатньо», слова «рівносильно», «еквівалентно» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «тоді і тільки тоді» або «необхідно і достатньо» нові висловлення: „число 2 просте тоді і тільки тоді, коли воно парне” або «для того, щоб число 2 було простим, необхідно і достатньо, щоб воно було парним». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають еквіваленцією даних висловлень і позначають так: а↔b або аb. Символічний запис а↔b або аb читають так: „а рівносильно b”, або „а еквівалентно b”, або „еквіваленція висловлень а і b”, або „для а необхідно і достатньо b”, або „а тоді і тільки тоді, коли b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: еквіваленцією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а↔b, яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення істинності висловлень а і b співпадають (або коли вони одночасно істинні або одночасно хибні).

З а допомогою таблиці істинності операцію еквіваленції можна задати так (див. таблицю № 2.10.). Зв'язок між операціями еквіваленції, імплікації, кон’юнкції, заперечення та диз'юнкції виражається за допомогою таких формул: 1) а↔b=(а→b)(b→а); 2) а↔b=(āb)(bа). Другу формулу легко одержати із першої, якщо врахувати формулу: а→b=āb.