2. Властивості аксіоматики (несуперечливість, повнота, незалежність) цілих невід’ємних чисел. Система аксіом Дж.Пеано. Поняття натурального числа і нуля в аксіоматичній теорії.

2. Що ж таке аксіома? – висловлення деякої теорії, що приймається при дедуктивній побудові цієї теорії без доведення. У середині століття, під впливом філософії Аристотеля, під аксіомою розуміли очевидні твердження, які не потребують доведення. Вчення І.Канта закріпило погляд на аксіоми, як на апріорні істини. Істотного удару по таким поглядам на аксіоми було нанесено російським математиком М.І.Лобачевским, який, замінивши лише одну аксіому, зумів побудувати нову геометрію. Таким чином аксіома – це твердження, яке перевірене багатовіковим досвідом людства і яке приймається без доведення.

Система аксіом будь-якої теорії повинна точно відображати властивості реального світу, задовольняючи при цьому певні вимоги логічного характеру. Такими вимогами є наступні:

а) несуперечливість, тобто із даної системи аксіом не можливо вивести хибне твердження, або довести два твердження, які б суперечили одне одному;

б) незалежність, тобто кожна з аксіом системи не може бути наслідком будь-якої іншої аксіоми системи;

в) повнота, тобто система аксіом повинна бути достатньою для побудови даної математичної теорії.

Слід відзначити, що аксіоматичний метод побудови теорії з'являється на певному етапі розвитку цієї теорії, як результат узагальнення її розвитку, хоча існують аксіоматичні теорії, які з'являються раніше за саму теорію. Систему аксіом цілих невід’ємних чисел систематизував італійський математик Дж.Пеано (1891 р.). В основу своєї аксіоматичної побудови він поклав ідеї видатного німецького математика Р.Дедекінда, висунуті ним у 1888 році. Основними поняттями цієї теорії є поняття унарної алгебраїчної операції або операції слідування. У математиці розглядають математичні структури, під якими розуміють певну непорожню множину М, на якій визначено певну сукупність алгебраїчних операцій з фіксованими їх основними властивостями (М; 0; '), де М - основна множина або носій цієї структури; 0 – це елемент цієї множини М і «'» - це унарна алгебраїчна операція слідування. Існують різні варіанти системи аксіом цілих невід’ємних чисел. Ми будемо дотримуватися наступної, зазначивши, що для всіх їх можна довести їхню рівносильність. Таким чином, можна прийняти таке означення цілих невід’ємних чисел.

Означення 1: невід’ємними цілими числами називаються елементи будь-якої структури (Z_o; 0; '), де Z_o – основна множина, 0 - нульовий елемент, ' (штрих) – символ унарної операції слідування (“безпосередньо слідує за”), в якій виконуються такі аксіоми:

Аксіома 1: нуль не йде ні за яким елементом множини цілих невід’ємних чисел Z₀ (символічно цю аксіому можна записати так: (VхєZ_o)[х'0, де х'=х+1]).

Аксіома 2: за кожним цілим невід’ємним числом безпосередньо йде одне ціле невід’ємне число – безпосередньо наступне число для даного числа (символічно ця аксіома запишеться так: (V х є Z_o)(!уєZ_o)[у = х']).

Аксіома 3: кожне ціле невід’ємне число, крім нуля, безпосередньо йде не більш як за одним цілим невід’ємним числом (символічно ця аксіома запишеться так: (Vх,уєZ_o)[х'=у'=>х=у]).

Аксіома 4 (аксіома індукції): якщо для будь-якої підмножини МZ_o виконуються умови: а) нуль належить множині М (символічно: 0єМ); б) із того, що х належить множині М випливає, що х належить множині Z_o, тоді множина М співпадає з множиною цілих невід’ємних чисел Z_o (символічно це можна записати так: (0єМ)[ VхєZ_o)[хєМ→х'єМ]→М=Z_o]).

Наведена система аксіом Дж.Пеано є формально-логічною основою для аксіоматичної побудови теорії цілих невід’ємних чисел. Розтлумачимо сутність і призначення аксіом системи. Майже у всіх аксіомах системи зустрічається символ х', який позначає число, яке безпосередньо слідує за числом х (наприклад, символ 0' слід розуміти як число, яке безпосередньо йде за числом 0, тобто 0'=0+1=1). Аксіома 1 стверджує, що найменшим цілим невід’ємним числом є число 0. Із аксіоми 2 випливає, що в множині цілих невід’ємних чисел не існує найбільшого числа. На основі аксіоми 3 можна твердити, що кожному цілому невід’ємному числу, крім 0, передує єдине ціле невід’ємне число.

Відповідно до вимог аксіоматичного методу побудови теорії, після того, як сформульовано систему аксіом, кожне нове твердження слід довести, спираючись на основні поняття, відношення між ними та аксіоми. На основі сформульованої системи аксіом Пеано доводяться всі теореми, які розглядаються в множині Zo чисел. Покажемо це на прикладі такої теореми «цілі невід’ємні числа, які слідують за різними цілими невід’ємними числами також різні» (символічно теорема запишеться так: (Vх, уєZo)[(ху)→( х'у')]). Доведення проведено методом від супротивного, тобто припустимо, що х'=у'. Тоді за аксіомою 3 (х'=у')→( х=у), а це суперечить тому, що х і у різні. Ця суперечність говорить, що наше припущення хибне, отже теорема справедлива.