Доведення.

Н ехай а,bQ₀. Приймемо, що a<b. Нехай додамо до обох частин . Тоді матимемо . Позначимо , тоді a<c<b. Отже, ми показали, що між додатними раціональними числами а і b є ще одне додатне раціональне число. Аналогічно можна довести, що і між числами а і с та с і b є додатні раціональні числа. Таким чином, теорему доведено.

Розглядаючи властивості множини цілих чисел, ми ввели поняття зчисленної множини, як множини, яка еквівалентна множині натуральних чисел. Покажемо, що і множина невід’ємних раціональних чисел має цю властивість, тобто є зчисленною.

Теорема: множина Q₀ невід’ємних раціональних чисел зчисленна.

Доведення.

Для доведення теореми слід показати, що між елементами множини невід’ємних раціональних чисел і множини натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність. Подамо кожне невід’ємне раціональне число нескоротним дробом. Назвемо висотою нескоротного дробу суму його чисельника і знаменника. Впорядкуємо всі нескоротні дроби в порядку зростання висоти, а при однаковій висоті будемо розміщати їх в порядку зростання чисельників. Нехай дробу відповідає натуральне число 1, дробові – натуральне число 2, дробовому числу - натуральне число 3 тощо. Таким чином, маємо: Що й треба було довести.

З іншими властивостями множини невід’ємних раціональних чисел будемо знайомитися в процесі розгляду іншого матеріалу.

4. Відношення порядку на множині невід’ємних раціональних чисел.

4. Розглянемо правила порівняння невід’ємних раціональних чисел, причому намагатимемося ввести їх таким чином, щоб вони не суперечили правилам порівняння цілих чисел. Розглянемо спочатку два невід’ємних раціональних числа а= з однаковими знаменниками. Будемо вважати, що . Як же бути у випадку дробів з різними знаменниками? Для відповіді на поставлене запитання приймемо наступні означення.

Означення: з двох невід’ємних раціональних чисел з однаковими знаменника меншим (більшим) буде те, у якого чисельник менший (більший).

Означення: з двох дробів з різними знаменниками меншим (більшим) буде той, для якого справджується нерівність pk<qn (pk>qn).

Перше означення символічно можна записати так: ( ), а друге – ( )(pk>qn).

З’ясуємо, які властивості має це відношення. Оскільки нерівності а<а і а>а не можуть бути одночасно істинними, то це відношення має властивість антирефлексивності. Для виявлення інших властивостей доведемо наступні теореми.

Теорема: для будь-яких невід’ємних раціональних чисел і , якщо < , то > .

Символічно сформульована теорема запишеться так: ( єQ₀)( єQ₀)[( < )( > )].

Доведення.

За означенням, якщо < , то mq<pn. Тоді pn>mq, тобто > . Що й треба було довести.

Теорема: для будь-яких невід’ємних раціональних чисел а, b, с, якщо (а<bb<c), то a<c.

Символічно ця теорема запишеться так: (а,b,сєQ₀)[(а<bb<c)→(a<c)].

Доведення.

Р озглянемо невід’ємні раціональні числа такі, що . Тоді маємо: →pk<nq<qm<kr→pm<nr→ < →a<c. Що й треба було довести.

Доведені теореми виражають відповідно властивості асиметричності та транзитивності. Таким чином, можна стверджувати, що відношення «менше» («більше») на множині невід’ємних раціональних чисел має властивості антирефлексивності, асиметричності та транзитивності, а тому воно є відношенням строгого порядку.