Розв’язання.

У задачі мова йде про 49 елементну множину, із якої треба вибрати шестиелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, а тому нам потрібно обчислити число комбінацій із 49 елементів по 6, тобто С₄₉⁶=(49•(49-1)•(49-2)•(49-3)•(49-4)•(49-5))/(1•2•3•4•5•6)=(49•48•47•46•45•44)/(1•2•3•4•5•6)=13983816. Щоб визначити необхідну кількість грошей, слід 13983816 помножити на ціну однієї карточки.

Для того, щоб спростити обчислення числа комбінацій, використовують властивості комбінацій, які спрощують ці обчислення.

Властивість 1: якщо 0<k≤n, то С_n^k=С_n^n-k.

Доведення.

Для доведення цієї властивості використаємо формулу С_n^k=n!/((n-k)!•k!) i покажемо, що права частина властивості дорівнює лівій. С_n^n-k=n!/((n-k)!•(n-(n-k))!)=n!/((n-k)!•(n-n+k)!)=n!/((n-k)!•k!)=С_n^k_. Властивість доведено.

Цією формулою зручно користуватися, коли верхнє число більше половини нижнього, наприклад: С₁₀₀⁸⁰=С₁₀₀^100-80=С₁₀₀²⁰. Покажемо це на наступному прикладі: обчислити С₁₀₀⁹⁶=С₁₀₀^100-96=С₁₀₀⁴=(100•99•98•97)/(1•2•3•4)=3921225.

Властивість 2: якщо 0<k≤n, то для будь-яких k i n С_n^k=С_n-1^k+С_n-1^k-1.

Доведення.

Для доведення цієї властивості використаємо формулу для обчислення числа комбінацій i покажемо, що права частина рівності дорівнює лівій. С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1))!/(k!•(n-k-1)!)+((n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!). Зведемо ці два дроби до спільного знаменника, враховуючи, що (n-k)!=1•2•3•...•(n-k-1)•(n-k) i (n-k-1)!=1•2•3•...•(n-k-1). Верхній i нижній факторіали вiдрiзняються лише тільки одним множником - (n-k), так само k! i (k-1)! вiдрiзняються лише одним множником k, а тому спільним знаменником для двох дробів буде k!•(n-k)!, тоді маємо: С_n-1^k+С_n-1^k-1=((n-1)!•k+(n-1)!)/((k-1)!•(n-k)!•k)=((n-1)!(k+n-k))/(k!•(n-k)!)=((n-1)!•n)/(k!•(n-k)!)=n!/(k!•(n-k)!=С_n^k. Властивість доведено.

Остання доведена теорема лежить в основі побудови, так званого, трикутника Паскаля, який дає можливість обчислювати значення С_n^k, знаючи С_n-1^k і С_n-1^k-1. Цей трикутник представлено у наступній таблиці № 1.2.

С00=1

С 10=1

С 11=1=1

С 20=1

С 21=2

С22=1

С 30=1

С 31=3

С32=3

С33=1

С40=1

С41=4

С42=6

С43=4

С44=1

С50=1

С51=5

С52=10

С53=10

С54=5

С55=1

С60=1

С61=6

С62=15

С63=20

С64=15

С65=6

С66=1

С70=1

С71=7

С72=21

С73=35

С74=35

С75=21

С76=7

С77=1

С80=1

С81=8

С82=28

С83=56

С84=70

С85=56

С86=28

С87=8

С88=1

Таблиця № 1.2. Трикутник Паскаля.

В цій таблиці у крайніх лівих і правих стовпцях стоять одиниці. У першому рядку записано С₀⁰=1, у другому - С₀⁰=1 і С₀⁰=1, у третьому – ліворуч С₂⁰=1, а праворуч С₂¹=1, а тоді, щоб обчислити С₂¹, необхідно додати числа, які стоять у попередньому рядку. Отже, С₂¹=1+1=2. Аналогічно можна обчислювати інші значення числа комбінацій, наприклад С₅³= С₄²+С₄³=6+4=10. Напрямок руху можна показати стрілками.