2. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

2. Розглянемо деякі теореми, що дозволять давати відповідь на запитання про подільність найпростіших виразів на число.

Теорема 1 : якщо кожен доданок суми цілих невід’ємних чисел ділиться на деяке натуральне число, то і сума цих чисел поділиться на це натуральне число.

Доведення : доведення проведемо для випадку двох доданків. Розглянемо цілі невід’ємні числа a , b , сN, a+b . Нехай за умовою теореми , . Спробуємо довести, що (a+b) c. За означенням відношення подільності, якщо , , то існують такі к,mєN, що справедливі рівності а=ск і в=сm. Тоді а+в=ск+сm=с(к+m) (за дистрибутивним законом). Отже, a+b=c(k+m). Оскільки k, m , то (k+m) . Таким чином, a+b=c(k+m). Тоді (a+b) c. Теорема доведена.

Доведену теорему можна поширити на будь-яке скінченне число доданків. Виявляється, що доведена теорема є лише достатньою ознакою подільності суми на число. Сформулюємо необхідну і достатню ознаку подільності суми на число, яку приймемо без доведення. Ознака: якщо один із кількох доданків суми цілих невід’ємних чисел ділиться на дане число, то для того, щоб сума ділилась на це число, необхідно і достатньо, щоб і кожен із решти доданків ділився на це число.

Теорема 2: якщо зменшуване і від’ємник різниці двох цілих невід’ємних чисел діляться на дане натуральне число, то і різниця поділиться на це натуральне число. – доведення цієї теореми пропонуємо провести самостійно, використовуючи доведення попередньої теореми!

Теорема 3: Добуток цілих невід’ємних чисел ділиться на натуральне число тоді, коли на дане число ділиться хоча б один із співмножників.

Доведення: для спрощення викладок доведення теореми проведемо для випадку двох співмножників. Нехай дано добуток цілих невід’ємних чисел ab. Виберемо для визначеності, що . Доведемо, що тоді c. Оскільки , то за означенням відношення подільності маємо а=ск, де кє . Отже, ав=(ск)в=с(кв). Оскільки то , тому (ab) c. Теорему доведено.

3. Загальна ознака подільності б.Паскаля. Ознаки подільності цілих невід’ємних чисел на 2, 3, 4, 5, 9, 25.

3. У попередньому пункті ми довели теореми про подільність, які не залежать від системи числення. Розглянемо ще одну теорему про подільність, яка не залежить від системи числення і називається ознака Б.Паскаля. Розглянемо ціле невід’ємне число аєZo: (І)

Теорема (ознака Паскаля): Будь-яке число а, задане в позиційній системі числення з основою q у вигляді (1) ділиться на натуральне число bN тоді і тільки тоді, коли на нього ділиться сума добутків цифр цього числа на остачі, утворені при діленні на число b, відповідних степенів основи числення q.

Символічно теорема запишеться так: (ІІ). У записі (ІІ) ,…, - це цифри числа а. - це остачі від ділення на число b степенів основи системи числення q, тобто чисел .

Доведення: Розглянемо ціле невід’ємне число а, яке ділиться на натуральне число в і представлене у вигляді (І). Для доведення теореми нам потрібно довести, що виконується твердження: (ІІ), де ... - це цифри числа а, а - це остачі від ділення на число b степенів основи системи числення q, тобто чисел . Оскільки в умові теореми є слова тоді і тільки тоді, то доведення складається із двох частин. У першій частині доведемо необхідну умову: «якщо , то сума добутків цифр цього числа на остачі від ділення на число b степенів основи системи числення ділиться націло на b» (див. ІІ), а у другій – достатню умову: «якщо , то ”. Справедливість цієї теореми приймемо без доведення.

У теорії подільності розглядають теореми, які дають можливість з’ясувати питання про подільність на дане число без виконання операцій ділення або шляхом зведення до ділення на значно менші числа. Такі теореми прийнято називати ознаками подільності. Вони залежать від системи числення.

Ознака 1: для того, щоб ціле невід’ємне число a ділилося на 2 необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалось парною цифрою.

Доведення: розглянемо aє . Представимо його у такому вигляді: (ІІІ). Щоб використати для доведення теореми ознаку подільності Паскаля, знайдемо остачі від ділення степенів основи числа 10 на число 2. Оскільки , то , а тому добутки . Отже, число a буде ділитися націло на 2, тоді, коли , а це буде тоді , коли або 2, або 4, або 6, або 8. Теорема доведена.

Попередню теорему можна довести і не використовуючи ознаку подільності Б.Паскаля. При цьому доведеться доводити необхідну та достатню умови. Доведемо необхідну умову: „якщо число закінчується парною цифрою, то воно ділиться націло на 2”. За умовою теореми число закінчується парною цифрою, а тому число можна представити у вигляді суми двох доданків так: а=10в+0, а=10с+2, а=10d+4, а=10f+6 і а=10e+8. За теоремами про подільність суми і добутку кожна сума ділиться націло на 2, а тому і число а ділиться націло на 2. Отже, необхідну умову доведено.

Доведемо достатню умову: „якщо число а ділиться націло на два, то воно закінчується парною цифрою”. Представимо число а у вигляді суми а=10b+r. Звідси r=a-10b. Оскільки за умовою a 2, а 10b 2 (за теоремою про подільність добутку), то і різниця (a-10b) 2, тобто r 2. r – це одноцифрове число, яке може ділитися націло на 2, якщо воно дорівнює одному з чисел 0, 2, 4, 6, 8. Це означає, що дане число а закінчується парною цифрою. Таким чином, достатню умову доведено. Отже, теорему доведено повністю (пропонуємо студентам довести цим способом самостійно ознаки подільності на 5, на 4 і на 25!).

Ознака 2: для того, щоб ціле невід’ємне число a ділилося на 5 необхідно і достатньо, щоб воно закінчувалося цифрами 0 або 5.

Ознака 3: для того, щоб ціле невід’ємне число а ділилося націло на 3, необхідно і достатньо, щоб сума цифр цього числа ділилася на 3.

Доведення: використаємо ознаку подільності Паскаля. Представимо число a у вигляді: і знайдемо остачі від ділення степенів числа 10 на 3. Маємо: 10:3=3(ост.1), 100:3=33(ост.1), тобто легко бачити, що , а тому сума добутків цифр числа a на остачі від ділення на 3 степенів числа 10 перетвориться в суму цифр числа, тобто: . Якщо ця сума ділиться на 3, то й число поділиться на 3. Теорема доведена.

Ознака 4: для того, щоб ціле невід’ємне число а ділилося націло на 9, необхідно і достатньо, щоб сума цифр цього числа ділилася на 9.

Ознака 5: для того, щоб ціле невід’ємне число а ділилося націло на 4, необхідно і достатньо, щоб число, утворене двома останніми цифрами числа a, ділилося націло на 4.

Доведення: представимо число a у вигляді: . і знайдемо остачі від ділення степенів числа 10 на 4. Легко бачити, що . Тому сума добутків цифр числа a і остач від ділення степенів числа 10 на 4 перетвориться у суму , а це означає, що число a можна представити у вигляді суми двох доданків. Оскільки перший доданок ділиться на 4, то для подільності даного числа a на 4 необхідно і достатньо, щоб виконалась умова . Таким чином, теорема доведена.

Ознака 6: для того, щоб ціле невід’ємне число а ділилося націло на 25, необхідно і достатньо, щоб число, утворене двома останніми цифрами числа a, ділилося націло на 25.

Покажемо застосування доведених ознак до розв’язування прикладів на наступній вправі.

Вправа: з’ясувати, чи ділиться на 2, 3, 4, 5, 9, 25 число 9876501342.

Розв’язання: а) це число ділиться на 2, бо закінчується цифрою 2. Оскільки дане число закінчується цифрою 2, то воно не поділиться на 5.

б) дане число за ознакою подільності ділиться на 3, оскільки сума його цифр (9+8+6+5+7+0+1+3+4+2=45) 3. Оскільки , то дане число також кратне 9.

в) щоб з’ясувати, чи ділиться дане число на 4, утворимо число із двох останніх цифр, тобто число 42. Оскільки , то дане число не ділиться на 4. Оскільки число, утворене двома останніми цифрами 42 не ділиться націло на 25, то число 9876501342 не ділиться на 25.