Розв’язання:

У цій задачі маємо справу із двома скінченними множинами: А - множина ручок, де n(A)=4, i В - множина олівців, де n(B)=3. Оскільки нам потрібно вибрати один предмет, тобто зробити вибір x чи y (ручка або олівець), то згідно з правилом суми це можна зробити n(A)+n(B)=4+3=7 способами. Правило суми можна було застосувати тому, що множини не перетинаються i вибір ручки не залежить від вибору олівця i навпаки.

Задача 2: із 28 студентів групи: 15 - займається в секції волейболу, 12 – в секції футболу, 7 - займається в обох секціях. Скільки студентів займається в інших секціях.

Розв’язання:

У цій задачі мова йде про такі множини: А - множина студентів групи, де n(A)=28, В - множина студентів, які займаються волейболом, де n(B)=15, С - множина студентів, які займаються футболом, де n(C)=12, D - множина студентів, які займаються футболом i волейболом, де n(D=ВС)=7, K - множина студентів, які займаються в інших секціях, де n(K) потрібно знайти. На кругах Ейлера ці множини зобразяться так (див. малюнок № 1.21.):

Малюнок № 1.21. Розв’язання задачі 2.

Отже, n(A)=n(B)+n(C)+n(K)-n(BC), 28=15+12+n(K)-7, n(K)=8 - кількість студентів, які займаються в інших секціях.

Інше правило комбінаторики відноситься до підрахунку числа кортежів, які можна утворити із елементів даних скінченних множин. Розглянемо дві скінченні множини А і В такі, що n(A)=m і n(B)=k. Утворимо множину А×В та знайдемо число її елементів, тобто n(А×В). Розглядаючи декартів добуток множин, ми з’ясували, що n(А×В)=n(А)•n(В)=m•k. Таким чином, можна сформулювати наступне правило.

Правило добутку: якщо елемент x із множини А можна вибрати m способами, а елемент y із множини B - k способами, то пару (x,y)єА×В можна вибрати m•k способами.

Символічно це правило можна записати так: n(А×В)=n(А)•n(В)=m•k. Його можна поширити на випадок будь-якої скінченної кількості множин. Покажемо застосування правила добутку на наступній задачі.

Задача: скільки трицифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 1,2,3,4,5?

Розв’язання:

У цій задачі мова йде про п’ятиелементну множину А={1,2,3,4,5}, із елементів якої треба вибрати трьохелементні підмножини. Кожне трицифрове число являє собою впорядковану трійку цифр або впорядкований кортеж довжини три, наприклад: 111, 112, 121 тощо. Отже, для того, щоб скористатися правилом добутку, потрібно розглянути декартовий добуток трьох множин А×А×А. Оскільки, згідно з правилом добутку n(A×A×A)=n(A)×n(A)×n(A), то число трицифрових чисел, які можна скласти із цифр 1, 2, 3, 4, 5 дорівнює 125. Отже, із цифр 1, 2, 3, 4, 5 можна утворити 125 трицифрових чисел.

2. Розміщення з повтореннями та без повторень.

2. В останній задачі попереднього пункту ми утворювали впорядковані кортежі довжини три із елементів скінченної п’ятиелементної множини, причому деякі елементи повторювались 2 або 3 рази. Наприклад 112 i 111. В комбінаториці такі кортежі називають розміщеннями з повтореннями із заданих n елементів по k елементів. Число розміщень з повтореннями позначається так: Ã_n^k. Цей символічний запис читають: число розміщень з повтореннями із n елементів по k. Для визначення числа розміщень з повтореннями приймемо наступні означення та доведемо теорему.

Означення: розміщеннями з повтореннями із елементів n - елементної множини Х по k елементів називають кортежі довжини k, утворені із елементів цієї множини Х i компоненти яких повторюються.

Теорема 1: число розміщень з повтореннями із даних n елементів по k елементів обчислюється за формулою Ã_n^k=n^k.