5. Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.

5. Розглянемо дві множини А= і  та утворимо третю множину С=. Із яких елементів складається множина С? – із елементів, які входять в кожну із множину, тобто із спільних елементів цих множин. Таку множину називають перетином множин А та В і позначають символом АВ=С.

Означення: перетином двох множин А і В називається така третя множина АВ, яка складається із спільних елементів А та В.

Символічно це означення можна записати так: х/х і х. З допомогою діаграм Ейлера-Венна перетин множин А і В зображено на малюнку № 1.8.

U

Малюнок № 1.8. Перетин множин .

Означення перетину можна поширити на випадок трьох і будь-якої скінченної кількості множин. Операція перетину множин підкоряється таким законам:

1. .

2. И.

3.  - закон ідемпотентності (незмінності).

4.  - переставний (комутативний).

5. А(ВС)=(АВ)С – сполучний (асоціативний).

6. А(ВС)=(АВ)(АС) – розподільний (дистрибутивний) закон перетину відносно об’єднання.

7. А(ВС)=(АВ)(АС) – розподільний (дистрибутивний) закон об’єднання відносно перетину.

Справедливість законів 1-3 легко обґрунтувати, виходячи із означення операції перетину, а закони 4-7 слід довести, використовуючи міркування чи діаграми Ейлера-Венна. Доведемо асоціативний закон операції перетину ()С=(С), використовуючи діаграми Ейлера-Венна (див. малюнок № 1.9.). На лівій діаграмі спочатку заштрихуємо вертикальними лініями множину , а горизонтальними - множину С. Тоді множина ()С зобразиться тією частиною універсальної множини, на якій штрихи накладуться. На правій діаграмі заштрихуємо спочатку вертикальними лініями множину С, а множину А - горизонтальними. Тоді множина (С) зобразиться тією частиною універсальної множини, на якій штрихи накладуться. Порівнюючи ліву та праву діаграми, бачимо, що множини ()С і (С) зображаються однієї й тією ж частиною універсальної множини. А це означає, що рівність ()С=(С) справедлива. Отже, закон доведено.

Операції об’єднання та перетину множин пов’язані між собою дистрибутивними або розподільними законами. Доведемо один із цих законів, а саме А(ВС)=(АВ)(АС), використовуючи міркування. Оскільки дві множини вважаються рівними тоді, коли кожен елемент першої є елементом другої, і навпаки, кожен елемент другої є елементом першої множини, то доведення складатиметься з двох частин. У першій частині доведемо, що кожен елемент лівої частини рівності належить правій, а в другій – що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Виберемо у лівій частині рівності довільний елемент хєА(ВС). Якщо хА(ВС), то згідно означення операції об’єднання множин можливі два випадки: а) хєА і хВС; б) хА і хєВС, тоді хєВ і хєС; в) хєА і хєВС, тоді хєА, хєВ і хєС.

а) якщо хєА і хВС, то хВ або хС. Тоді, згідно означення операції об’єднання хє(АВ) і хє(АС), а згідно означення операції перетину хє(АВ)(АС), тобто правій частині рівності.

б) якщо хА і хєВС, то хєВ і хєС, а тому хє(АВ) і хє(АС). Отже, хє(АВ)(АС), тобто правій частині рівності.

в) якщо хєА і хєВС, то згідно означення операції перетину хєВ і хєС. Тоді, згідно означення операції об’єднання хє(АВ) і хє(АС), а згідно означення операції перетину хє(АВ)(АС), тобто правій частині рівності.

U

U

Малюнок № 1.9. Доведення асоціативного закону операції перетину()С=(С) .

Таким чином, вибравши у лівій частині рівності довільний елемент, який їй належить, ми показали, що будь-який елемент лівої частини рівності належить правій частині рівності. Оскільки в лівій частині елемент ми вибирали довільно, то наші міркування можна повторити для будь-якого елемента лівої частини. Отже, кожен елемент лівої частини рівності є елементом правої частини рівності. Це означає, що (А(ВС))((АВ)(АС)). Перша частина теореми доведена.

Проведемо доведення другої частини: покажемо, що кожен елемент правої частини рівності є елементом лівої. Нехай ує(АВ)(АС). Тоді згідно означення операції перетину множин маємо: ує(АВ) і ує(АС). Тут можливі два випадки: а) уєА і уВ; б) уА і уєВ, а тоді уєС.

а) якщо уєА і уВ, то згідно означення операції об’єднання ує(А(ВС)), тобто лівій частині.

б) якщо уєВ і уєС, то згідно означення операції перетину ує(ВС), а згідно означення операції об’єднання ує(А(ВС)), тобто лівій частині. Таким чином, в обох випадках, якщо елемент належить правій частині, то він належить і лівій.

Оскільки елемент у правій частині ми вибрали довільно, то наші міркування можна повторити для кожного із елементів правої частини. Отже, кожен елемент правої частини є елементом лівої. Це означає, що справедливе твердження ((АВ)(АС))(А(ВС)). Другу частину доведено.

Таким чином, у першій частині ми довели, що (А(ВС))((АВ)(АС)), тобто, що кожен елемент лівої частини є елементом правої, а в другій частині – ((АВ)(АС))(А(ВС)), тобто, що кожен елемент правої частини є елементом лівої. Отже, згідно означення рівності множин, маємо А(ВС)=(АВ)(АС), тобто ліва і права частини рівності складаються з одних і тих самих елементів. А це означає, що справедливість закону доведено.

Готуючись до екзамену студент має право доводити відповідні закони будь-яким із наведених способів. Для оволодіння способами доведення пропонуємо студентам довести самостійно всі не доведені закони будь-яким із запропонованих двох способів.