Діаграма № 5.2. Співвідношення між числовими множинами n, z, q, r.

3. Відношення порядку на множині дійсних чисел.

3. Перед тим як розглянути дії над дійсними числами потрібно навчитися їх порівнювати, причому правила порівняння повинні включати в себе правила порівняння раціональних чисел. Оскільки кожне дійсне число можна представити у вигляді десяткового дробу, то було б доцільно порівнювати дійсні числа як порівнюються десяткові дроби.

Означення: два додатних дійсних числа називаються рівними, якщо в їхніх зображеннях за допомогою нескінченного неперіодичного десяткового дробу збігаються як цілі частини, так і всі десяткові знаки вправо від коми.

Означення: із двох додатних дійсних чисел більшим (меншим) буде те, у якого більша (менша) ціла частина, а якщо цілі частини рівні, то більшим (меншим) буде те, у якого більшим (меншим) буде перший із нерівних десяткових знаків.

Так само, як і при порівнянні від’ємних раціональних чисел, для порівняння від’ємних дійсних чисел введемо поняття модуля дійсного числа.

Означення: модулем дійсного числа α називають відстань від початку відліку числової прямої до точки цієї прямої, яка зображає число α.

Вправа: Знайдіть модулі чисел: -12; 4; -3,5; 0; -2 .

Розв’язання.

Відповідно до вищенаведеного означення маємо: │-12│=-(-12)=12, бо -12<0; │4│=4, бо 4>0; │-3,5│= -(-3,5)=3,5, бо -3,5<0;│0│=0; │-2⅓│= -(-2⅓)=2⅓.

І нколи означення модуля дійсного числа α дають в такій символічній формі:

α, якщо α≥0,

│α│=

-α, якщо α<0.

Означення: із двох від'ємних дійсних чисел більшим (меншим) буде те, модуль якого менший (більший).

Вправа: порівняти пари дійсних чисел: -6 і -7; -12 і -15.

Розв’язання.

Оскільки │-6│=6 і │-7│=7, а 6<7, тобто │-6│<│-7│, то -6>-7. Аналогічно пропонуємо розв’язати друге завдання.

Якщо зобразити кожне дійсне число точкою числової прямої, то можна прийняти таке правило порівняння дійсних чисел:

Правило: із двох дійсних чисел більшим (меншим) буде те, яке зображається правіше (лівіше) на числовій прямій.

4. Додавання і віднімання додатних дійсних чисел.

4. Відповідно до вимог розширення множини раціональних чисел ми повинні ввести правила додавання, віднімання, множення і ділення дійсних чисел так, щоб вони не суперечили відповідним правилам виконання цих дій над раціональними числами. Враховуючи це зауваження, введемо означення суми, різниці, добутку та частки дійсних чисел.

Означення: сумою двох дійсних чисел одного знаку називається сума їх модулів, взята з тим самим знаком, які мають обидва доданки.

Означення: сумою двох дійсних чисел з різними знаками називається різниця між більшим і меншим модулем даних чисел, взята із знаком числа, модуль якого більший.

Означення: сума двох протилежних дійсних чисел дорівнює нулю, тобто а+(-а)=0.

Означення: сума двох дійсних чисел, одне з яких нуль, дорівнює другому доданку, тобто а+0=0+а=а.

Вправа: знайдіть суму чисел: 1) 3 і 5; 2) 3 і -5; 3) -3 і 5; 4) -12 і -17; 5) 0,121121112… і -0,343343334…