7. Обчислення нсд і нск способом канонічного розкладу на прості множники та за алгоритмом Евкліда.
7. У теорії чисел для знаходження НСК і НСД використовують два способи:
1) спосіб розкладу чисел на прості множники. Для знаходження НСД цим способом, який називають способом канонічного розкладу, потрібно розкласти дані числа в добуток простих множників і для знаходження НСД потрібно записати добуток спільних множників у найменшому степені. Для знаходження НСК даних чисел потрібно розкласти ці числа на прості множники, а потім записати добуток всіх простих множників у найбільшому степені.
2) спосіб знаходження НСД, який називають алгоритмом Евкліда. Він ґрунтується на такій теоремі.
Теорема: якщо натуральне число а можна представити у вигляді a=bq+r, де a,b,q,rєN, то множина спільних дільників чисел a і b співпадає з множиною спільних дільників чисел b і r.
Доведення: нехай a=bq+r. Позначимо через М множину таких натуральних чисел d, які є дільниками чисел а і b, тобто М={dN/a db d}. Через К позначимо множину таких натуральних чисел k, які є дільниками чисел b і r, тобто K={kN/b kr k}. Для доведення теореми нам потрібно показати, що кожен елемент множини M є елементом множини K і навпаки. Отже, доведення складається із двох частин.
У першій частині
доведемо, що кожен елемент множини M
є елементом множини K.
Нехай xM.
Оскільки (a
x)(b
x),
то за теоремою про подільність різниці
та добутку (a-bq)
x.
Зважаючи на те, що a-bq=r,
маємо r
x.
Тоді
.
Оскільки елемент х
в множині M
ми вибирали довільно, то наші міркування
можна повторити для кожного елемента
множини M,
а тому кожен елемент множини M
є елементом множини K,
тобто MK.
Перша частина теореми доведена.
У другій частині
доведемо, що кожен елемент множини K
є елементом множини M.
Нехай
).
Оскільки bq+r=a,
то а
у.
Отже,
.
Оскільки елемент y
ми вибираємо довільно, то наші міркування
можна повторити для кожного елемента
множини K.
Отже, KM.
Друга частина теореми доведена.
За доведеним у першій частині MK, а за доведеним у другій частині KM. Відповідно до означення рівності множин випливає, що M=K, тобто множини співпадають. Теорема доведена повністю.
Ця теорема дає можливість звести знаходження НСД для чисел a і b до знаходження НСД чисел b і r, які менші за задані числа. Теоретичною основою цього є наступна теорема.
Теорема: в алгоритмі Евкліда, який застосований до натуральних чисел a і b, остання, відмінна від нуля остача, буде дорівнювати НСД цих чисел.
Доведення: для того, щоб знайти НСД даних чисел за алгоритмом Евкліда треба найбільше число поділити на найменше, потім найменше число на остачу, потім першу остачу на другу і т.д., аж доки не отримаємо в остачі 0. Тоді остання відмінна від 0 остача і буде НСД. Якщо a b, то НСД(а,b)=b. Якщо ж а не ділиться націло на b, то відповідно до теореми про ділення з остачею маємо: a=bq+r, де a,b,q,rN, abrr1r2…rk і b=rq1+r1, r=r1q2+r2 тощо. Оскільки ми маємо abrr1r2…rk, то за принципом найменшого числа ми прийдемо до випадку, коли якесь rk=0, а тому ділення буде виконуватися націло. Тоді НСД(rk-1,0)=rk-1. Теорема доведена.
Проілюструємо обидва способи знаходження НСД і НСК на таких прикладах.
Вправа 1: знайти НСД(248, 1024) за допомогою канонічного розкладу.
Розв’язання:
Розкладаємо числа 248 і 1024 на прості множники (див. таблицю № 4.9.).
-
248
2
1024
2
124
2
512
2
62
2
256
2
31
31
128
2
1
64
2
248=2331
32
2
16
2
8
2
4
2
2
2
1
1024=210
Таблиця № 4.9.
Щоб знайти НСД(248,1024) потрібно записати добуток спільних множників у найменшому степені. Оскільки спільним множником є тільки число 2 у третьому степені, то НСД(248,1024)=23=8.
Вправа 2: знайти НСК(512,90) способом розкладу на прості множники.
Розв’язання:
Розкладаємо числа 512 і 90 на прості множники (див. таблицю № 4.10.).
-
512
2
90
2
256
2
45
3
128
2
15
3
64
2
5
5
32
2
1
16
2
90=2325.
8
2
4
2
2
2
1
512 = 29.
Таблиця № 4.10.
Щоб знайти НСК(512,90) потрібно записати добуток всіх множників у найбільшому степені. Отже, маємо: НСК(512,90)=29 325=23040.
Вправа 3: знайти НСД(2002,12506) за допомогою алгоритму Евкліда.