5.2. Диз'юнкція двох предикатів.

5.2. Для того, щоб визначити операцію диз’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени або набрав прохідний бал” - диз'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: диз'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на множині Х і який хибний при всіх тих хХ, при яких одночасно хибні обидва предикати.

При оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)В(х), тобто Т_А_В, на діаграмі Ейлера-Венна зафарбуємо спочатку множину істинності предиката А(х), а потім - множину істинності предиката В(х). Тоді множина істинності предиката А(х)В(х) буде зображатися тією частиною множини Х, яка зафарбована (див. діаграму № 2.5.).

Таким чином, множина істинності предиката А(х)В(х) є об’єднанням множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність Т_А_В=Т_АТ_В. Операція диз’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція диз’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.

Діаграма № 2.5. Множина істинності диз’юнкції предикатів Т_АВ=Т_АТ_В.

6. Операція імплікації над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції імплікації.

6.1. Операція імплікації висловлень.

6.1. Ми вже розглянули три операції над висловленнями та предикатами. Кожній з них, певним чином, відповідали частка не чи сполучники: і, або. У математиці досить часто використовуються словосполучення «якщо …, то …», слова «випливає», «слідує» тощо. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою словосполучення «якщо …, то …» або слова «слідує» нове висловлення: „якщо число 2 – просте, то воно парне” або «із того, що число 2 – просте, слідує (випливає), що воно парне». Воно є складеним (Чому?). У математичній логіці таке нове висловлення називають імплікацією (грецьк. Implico – тісно зв'язую) даних висловлень і позначають так: а→b або аb. Символічний запис а→b або аb читають так: „якщо а, то b”, або „з а слідує (випливає) b”, або „імплікація а і b”, або „а імплікує в b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: імплікацією двох висловлень а і b називається таке нове висловлення а→b, яке хибне тоді і тільки тоді, коли висловлення а істинне, а висловлення b – хибне, і істинне в усіх інших випадках.

За допомогою таблиці істинності операцію імплікації можна задати так (див. таблицю №2.7.).

а	в	а→b
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Таблиця № 2.7. Таблиця істинності для операції імплікації висловлень.

В імплікації а→b висловлення а називають або умовою, або посилкою, або основою імплікації, а висловлення b – висновком або наслідком імплікації. Зв'язок між операцією імплікації та операціями заперечення та диз'юнкції задається за допомогою такої формули: а→b=āв. Доведемо її за допомогою таблиці істинності (див. таблицю № 2.8.). Порівнюючи 3 і 5 стовпчики, бачимо, що вони набувають однакових значень істинності при будь-яких наборах значень істинності висловлень а і b.

Р озглянемо імплікацію: а→b=„якщо число закінчується на 0, то воно ділиться на 5”.Домовимося називати її даною або прямою імплікацією. Переставивши місцями умову та висновок, одержимо нову імплікацію b→а=„якщо число ділиться на 5, то воно закінчується нулем”. Така імплікація називається оберненою до даної. Замінимо в даній імплікації а→b умову і висновок їх запереченнями. Отримаємо нову імплікаціюā→b=„якщо число не закінчується на 0, то воно не ділиться на 5”, яку називають імплікацією, протилежною до даної. Поміняємо в останній імплікації місцями умову та висновок. Тоді одержимо імплікаціюв→ā=„якщо число не ділиться на 5, то воно не закінчується нулем”. Цю імплікацію називають імплікацією протилежною до оберненої або оберненою до протилежної. Таким чином, маємо чотири види імплікації: 1) а→b – пряма; 2) b→а – обернена до даної; 3) ā→b - протилежна до прямої; 4)b→ā - протилежна до оберненої або обернена до протилежної. Виникає запитання: як ці види імплікацій пов’язані між собою? Для виявлення зв'язку між імплікаціями побудуємо таблицю істинності (див. таблицю № 2.9.).

а	в	а→b	 ā	 ā в
0	0	1	1	1
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	1	1	0	1

Таблиця № 2.8. Доведення формули а→b=āв.

а	в	а	b	а →b	b→а	 а→b	 b →а
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	0
1	1	0	0	1	1	1	1

Таблиця № 2.9. Доведення рівносильності різних видів імплікацій.

А налізуючи побудовану таблицю, бачимо, що значення 5-го і 8-го стовпців приймають однакові значення істинності при всіх наборах значень істинності висловлень, що до них входять. Саме тому можна твердити, що справедливі такі рівності: а→b=b→а та b→а=а→b. Таким чином, маємо дві пари рівносильних між собою імплікацій а→b=b→а та b→а=а→b. Це дає змогу визначати істинність не всіх чотирьох імплікацій, а лише двох (по одній із кожної пари), бо істинність двох інших випливатиме із рівносильності пар імплікацій.