Побудова трикутника за трьома сторонами.

Нехай нам задано три відрізка a, b, c і необхідно побудувати трикутник, сторони якого б дорівнювали цим відрізкам. На довільній прямій МК відкладаємо відрізок, що дорівнює відрізку а. Нехай його кінцями будуть точки В і С. З центром в точці В розхилом циркуля, що дорівнює відрізку c, проводимо дугу. З центром в точці С розхилом циркуля, що дорівнює відрізку b, проводимо дугу. Нехай проведені дуги перетинаються в точці А. Проводимо відрізки АВ і АС. Тоді трикутник АВС буде шуканим (див. мал. № 7.5.). Зазначимо, що задача може не мати розв’язку, якщо сума відрізків двох відрізків менша, за третій відрізок.

3. Основні методи геометричних побудов (метод гмт, методи осьової та центральної симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії, алгебраїчний метод).

3. Разом з тим зазначимо, що в математиці існують наступні основні методи геометричних побудов:

Метод геометричних місць точок.

Для розуміння його сутності спочатку розглянемо основні поняття, що відносяться до нього. Як відомо, геометричним місцем точок (у подальшому ГМТ) називається фігура, яка складається з усіх точок площини, які мають одну і ту саму певну властивість, і тільки з таких саме точок. З шкільного курсу геометрії Вам повинні бути відомими такі ГМТ площини: а) коло (0;r) – це ГМТ площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини, яка називається центром кола; б) круг (0;r) – це ГМТ площини, які знаходяться на відстані не більшій за вказану від однієї точки площини, що називається центром круга; в) серединний перпендикуляр до відрізка – це ГМТ площини, рівновіддалених від кінців цього відрізка; г) ГМТ площини, рівновіддалених від двох даних у цій площині паралельних прямих, - це пряма, яка є їх віссю симетрії; д) ГМТ площини, рівновіддалених від сторін кута – це бісектриса кута; е) ГМТП, рівновіддалених від двох даних у цій площині прямих, що перетинаються, - це дві взаємно перпендикулярні прямі, які є бісектрисами кутів, утворених даними прямими; є) ГМТП, з яких даний відрізок видно у цій площині під прямим кутом, - це коло, що має цей відрізок своїм діаметром тощо. У чому суть розв’язання задачі МГМТ? - відкидаючи одну з умов задачі, будують ГМТ, яке задовольняє другу умову. Потім відкидають другу умову і будують ГМТП, яке задовольняє першу умову. Нарешті, шукають перетин першого та другого ГМТ, що і буде розв’язком задачі.

а А

b

c

В С

Малюнок № 7.5. Метод симетрії відносно прямої.

Означення: дві точки М і М′ називаються симетричними відносно прямої р, якщо р перпендикулярна ММ′ і проходить через його середину. Кожна точка прямої р симетрична сама собі.

Означення: Симетрією площини відносно прямої р називається перетворення площини, при якому будь-яка точка площини відображається на точку симетричну їй відносно прямої р.

Осьову симетрію з віссю р позначають S(р), а запис р(М)=М′ читають так: образом точки М при осьовій симетрії з віссю р є точка М′. Осьова симетрія задається або віссю симетрії, або однією парою відповідних точок, або двома різними подвійними точками. При осьовій симетрії образом прямої є пряма; образом паралельних прямих є паралельні прямі; образом відрізка є рівний йому відрізок; образом променя - промінь; образом кута – рівний йому кут; образом півплощини – півплощина. Крім того, всі симетричні фігури рівні між собою, але мають протилежну орієнтацію.

Суть розв’язування задач на побудову методом осьової симетрії полягає в тому, що разом з шуканими фігурами розглядаються фігури, симетричні деяким з них або їхнім частинам відносно довільно вибраної осі. При вдалому виборі фігури і осі, розв’язання задачі може значно полегшитися, бо виникає або нова більш проста задача, розв’язання якої відоме, або виконана симетрія дає безпосередньо шуканий розв’язок. До яких задач застосовують цей метод розв’язування? - з визначення положення фігур, для встановлення форми фігури, для відшукання найбільших і найменших значень величин тощо.