Доведення:
Розглянемо два рівноскладені многокутники М і К. Відповідно до означення вони розкладуться на однакове число попарно рівних частин: М=М1+М2+М3+...+Мn і К=К1+К2+К3+...+Кn. Знайдемо площі многокутників М і К. S(М)=S(М1)+S(М2)+S(М3)+...+S(Мn) і S(К)=S(К1)+S(К2)+S(К3)+...+S(Кn). Оскільки многокутники М1, М2, М3,...,Мn і К1, К2, К3,...,Кn попарно рівні, то S(М1), S(М2), S(М3),...,S(Мn) і S(К1), S(К2), S(К3),...,S(Кn) – попарно однакові, а тому S(М)=S(К). Теорему доведено.
Теорема 2: будь-які два рівновеликі многокутники рівноскладені.
Доведення цієї теореми опустимо, бо воно аналогічне до попередньої. Зазначимо, що обидві теореми можна об’єднати в одну: “Для того, щоб будь-які два многокутники були рівновеликими, необхідно і достатньо, щоб вони були рівноскладеними”. Доведені і сформульовані теореми нададуть можливість значно спростити обґрунтування формул для обчислення площ окремих видів многокутників.
Оскільки основною одиницею вимірювання довжини у системі “SI” є 1 м, то основною одиницею вимірювання площі є 1 кв. м або 1 м2. Похідними одиницями вимірювання площі є наступні одиниці: 1 кв. дм (дм2)=0,01 м2=100 см2; 1 кв. см (см2)=0,0001 м2=100 мм2; 1 кв. мм (мм2)=0,000001 м2; 1 квадратний декаметр або 1 ар (а)=100 м2=0,01 га; 1 квадратний гектометр або 1 гектар (га)=10000 м2; 1 кв. км (км2)=1000000 м2. Аналогічно можна ввести позначення старовинних мір площі та встановити їхні співвідношення із сучасними мірами площі.
4. Виведення формул для знаходження площі паралелограма, трикутника, трапеції. Формули для знаходження площ поверхонь просторових геометричних фігур.
4. Ми вже зазначали, що знаходити площу многокутників чи інших геометричних фігур безпосередньо (накладанням палетки) не завжди зручно і раціонально. Саме тому, в математиці виведені формули для знаходження площ окремих видів геометричних фігур. Щоб познайомитися з ними доведемо наступні теореми.
Теорема 3: площа кожного прямокутника дорівнює добутку довжин його суміжних сторін.
Доведення:
Нехай нам дано прямокутник АВСД. Виберемо систему координат так, щоб осі ОХ і ОУ проходили через суміжні сторони цього прямокутника (див. малюнок № 7.12.).
У
-
а
В
2
С
1
А
1
2
3
b
Д
Х
0
