4.2. Операція кон'юнкції предикатів.

4.2. Як відомо, для одержання висловлення із предиката необхідно замінити змінну (змінні) назвою конкретного предмета, тобто використати спосіб підстановки, або використати операцію навішуванням квантора. А чи можна над предикатами виконувати й інші операції? - так, бо їх можна перетворити у висловлення. Всі предикати також поділяються на прості або елементарні та на складені. Для того, щоб визначити операцію кон’юнкції предикатів, розглянемо на множині абітурієнтів предикати: А(х): „х – склав всі екзамени” і В(х): „х – набрав прохідний бал”. Як можна назвати предикат „х – склав всі екзамени і набрав прохідний бал” - кон'юнкцією заданих предикатів. Отже, приймемо таке означення.

Означення: кон'юнкцією двох предикатів А(х) і В(х), заданих на одній і тій самій множині Х, називається такий новий предикат А(х)В(х), який визначений на множині Х і який істинний при всіх тих хХ, при яких одночасно істинні обидва предикати.

При оперуванні із складеними предикатами доводиться знаходити їх множини істинності. Знайдемо множину істинності предиката А(х)В(х). Позначимо область визначення предикатів через Х, множину істинності предиката А(х) через Т_А, а множину істинності предиката В(х) – через Т_В. Щоб знайти множину істинності предиката А(х)В(х), тобто Т_А_В, на діаграмі Ейлера-Венна заштрихуємо множину істинності предиката А(х) горизонтальними штрихами, а множину істинності предиката В(х) – вертикальними штрихами. Тоді множина істинності предиката А(х)В(х) буде зображатися тією частиною множини Х, на якій штрихи накладаються (див. діаграму № 2.4.).

Х

Т_АВ

Діаграма № 2.4. Множина істинності кон’юнкції предикатів Т_АВ = Т_АТ_В.

Таким чином, множина істинності предиката А(х)В(х) є перерізом множин істинності предикатів А(х) і В(х), тобто справедлива рівність Т_А_В=Т_АТ_В. Операція кон’юнкції предикатів підкоряється тим же самим законам, що і операція кон’юнкції висловлень. Пропонуємо студентам записати відповідні закони самостійно.

5. Операція диз’юнкції над висловленнями та предикатами. Її таблиця істинності. Основні властивості (закони) операції диз’юнкції.

5.1. Операція диз’юнкції над висловленнями.

5.1. Розглянемо два висловлення: а=„число 2 просте” і в=„число 2 – парне”. Утворимо з цих двох простих висловлень за допомогою сполучника „або” нове висловлення і з'ясуємо його істинність: „число 2 – просте або парне”. Воно істинне. У математичній логіці таке нове висловлення називають диз'юнкцією (грецьк. disjunction - роз'єднання, розрізнення) даних висловлень і позначають так: аb. Символічний запис аb читають так: „а або b”, або „а в диз'юнкції з b”, або „диз'юнкція а і b”. Тепер сформулюємо строге математичне означення цієї операції над висловленнями.

Означення: диз'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке хибне тоді і тільки тоді коли хибні обидва висловлення.

Крім наведеного означення операцію диз’юнкції можна задати з допомогою іншого означення чи таблиці істинності (див. таблицю № 2.5.).

а	в	ав
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Таблиця № 2.5. Таблиця істинності для операції диз’юнкції.

Означення: диз'юнкцією двох висловлень а і b називають таке нове висловлення аb, яке істинне тоді і тільки тоді, коли істинне хоча б одне із висловлень а і b.

Яку операцію над числами нагадує нам означення диз’юнкції двох висловлень задане таблицею істинності? – певним чином операцію додавання чисел. Саме тому операцію диз'юнкції називають логічним додаванням. Означення операції диз'юнкції двох висловлень можна поширити на три, чотири та на будь-яке скінченне число висловлень. Наприклад: диз’юнкцією висловлень а, b, с називається таке нове висловлення, яке хибне тоді і тільки тоді, коли хибне кожне з висловлень а, b і с, тобто аbс=(аb) с. Враховуючи сказане, зазначимо, що всі твердження, які ми будемо доводити для двох висловлень щодо диз’юнкції, будуть, майже завжди, істинними для будь-якого скінченого числа висловлень.

Безпосередньо із означення диз’юнкції двох висловлень легко переконатися у справедливості таких властивостей (законів): 1) а1=1; 2) а0=а; 3) аа=а – закон ідемпотентності. Крім вказаних законів, операція диз’юнкції висловлень підкоряється таким законам:

3. ав=ва –комутативний (переставний) закон.

4. (ав)с=а(вс) – асоціативний (сполучний) закон.

5. а(вс)=(ав)(ас) – дистрибутивний (розподільний) закон операції кон’юнкції відносно диз’юнкції.

6 . а(вс)=(ав)(ас) – дистрибутивний (розподільний) закон операції диз’юнкції відносно кон’юнкції (п’ятий та шостий закони пов’язують операції кон’юнкції та диз’юнкції).

7 . ав=āв.

8 . ав=āв - закони де Моргана, які пов’язують операції заперечення, кон’юнкції та диз’юнкції.

Закони 3-8 потребують доведення. Його проводять, використовуючи таблиці істинності. Покажемо це на прикладі останнього закону де Моргана (див. таблицю № 2.6.). Кількість стовпців таблиці істинності дорівнює 7, а кількість рядків – 2²+1=5 (як це визначили?). Заповнення стовпців виконаємо аналогічно до того, як це робилося при побудові таблиці істинності у попередньому пункті.

А	b	a	в	ав	а в	ā в
0	0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0
1	1	0	0	1	0	0

Таблиця № 2.6. Доведення закону де Моргана.