Основні теореми про границі функцій

Якщо для функцій та , то в точці :

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Чудові границі:

1) = 1.

2) або 3)

1. Якщо числова послідовность монотонна і обмежена, то вона має границю.

2. Якщо в деякій околі точки (або при достатньо великих х) функція між двома функціями і з однаковими границями А при або , то функція має ту же границю А.

Нескінченно малі

Нескінченно великі

Змінна величина х - нескінченно мала, якщо в процесі її зміни наступить момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа , тобто

Властивості:

1. Алгебраічна сума скінченої кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

2. Добуток сталої величини або обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

3. Добуток скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Границя нескінченно малої величини дорівнює нулю.

Нескінченно малі величини та одного порядку малості, якщо їх відношення має скінчену границю, що не дорівнює 0. = К 0.

Змінна величина х - нескінченно велика, якщо в процесі її зміни наступить момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед заданого додатного числа , тобто .

Властивості:

1. Сума нескінченно великої величини і обмеженої функції є величина нескінченно велика.

2. Добуток нескінченно великої величини на функцію, границя якої відмінна від нуля є величина нескінченно велика.

3. Частка від ділення нескінченно великої величини на функцію,що має границю, є величина нескінченно велика.

Границя нескінченно великої величини дорівнює нескінченності.

Нескінченно великі величини та одного порядку, якщо їх відношення має скінчену границю, що не дорівнює 0. = К.

Функція - нескінченно мала величина при або при ,

якщо її границя дорівнює нулю: .

Зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими

1. Якщо х – нескінченно велика величина, то - нескінченно мала величина.

2. Якщо х – нескінченно мала величина і 0, то - величина нескінченно велика.

3. Ділення двох нескінченно малих або двох нескінченно великих величин не визначено.

4. Обернена до нескінченно малої є нескінченно велика величина.

5. Якщо функція має при або х границю А, то її можна представити у вигляді суми числа А і нескінченно малої і навпаки.