4.10. Момент інерції геометричного тіла

 

Щоб знайти момент інерції довільного твердого тіла відносно осі обертання, що проходить через його центр ваги, таке тіло уявно ділять на безконечне число матеріальних точок чи частин, з масою  кожна, і сумують моменти інерції всіх цих частин, замінюючи суму в формулі для   інтегралом:

 

,

 

де  - модуль радіус-вектора проведеного від осі обертання до елемента  .

 

Для прикладу знайдемо момент інерції однорідного диска радіусом  . Виберемо на диску круговий елемент радіусом   і товщиною    з масою   (рис. 8). За означенням

 

 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8

 

Виразимо елемент маси через густину речовини диска і елемент об’єму:

 

.

 

Тоді момент інерції запишемо:

 

.

 

Об’єм елемента маси виразимо як об’єм пустотілого циліндра з внутрішнім радіусом  , висотою   і товщиною стінки  :

 

.

 

Підставивши такий вираз для  у формулу моменту інерції, одержимо:

 

;

 

.

 

Враховуючи, що масу диска можна виразити як добуток об’єму на густину:

 

,

 

для моменту інерції диска відносно осі, що проходить через його центр маси  одержимо:

.

 

   Подамо без доведення формули моменту інерції відносно осі, що проходить через центр маси для таких геометричних фігур:

стержня -      ,

де  - довжина стержня;

кулі -             ,

тут  - радіус кулі.

 

4.11. Теорема Штейнера. Закон додавання моментів інерції

     

Момент інерції твердого тіла відносно довільної осі можна розрахувати за теоремою Штейнера: якщо вісь обертання (О) проходить не через центр маси тіла, то момент інерції його ( ) відносно цієї осі рівний сумі моменту інерції ( ) відносно осі, що проходить через центр маси (О₀) і добутку маси тіла на квадрат відстані ( ) між осями (рис. 9):

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9

Якщо система, що обертається навколо нерухомої осі, складається з n тіл, то сумарний момент інерції такої системи буде рівний сумі моментів інерції її складових (закон додавання моментів інерції):

 

.

4.12. Закон збереження моменту імпульсу

 

1). Закон збереження моменту імпульсу: якщо результуючий момент зовнішніх сил, що діють на тіло відносно нерухомої осі тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу такого тіла відносно цієї осі з бігом часу не змінюється.

Покажемо це математично. З основного закону динаміки обертального руху

.

 

Якщо, відповідно до формулювання, прийняти

 

,

то

,

а це означає, що

.

 

Тобто, у випадку  , постійним є абсолютне значення і напрям вектора  .

  Зауваження. В ізольованій системі момент зовнішніх сил рівний нулю, тому для такої системи завжди виконується закон збереження моменту імпульсу.

 

2). Приклади виконання закону збереження моменту імпульсу

 

Гіроскоп

  У справедливості закону збереження моменту імпульсу можна переконатись на досліді з гіроскопом.

Гіроскопом називають однорідне симетричне тіло, яке швидко обертається навколо своєї осі симетрії. Гіроскоп, зображений на рисунку 10, має три ступені вільності відносно осей  . Якщо знехтувати силами тертя, то момент довільної сили, що передається гіроскопу через стояк, буде рівний нулю (бо початок вектора будь-якої сили завжди буде проходити через центр мас гіроскопа, а значить, момент  такої  сили буде  рівний нулю). Тому при будь-яких діях на стояк, гіроскоп зберігатиме незмінним як значення, так і напрям вектора моменту імпульсу .

 

Збереження свого моменту імпульсу   гіроскопом можна спостерігати і тоді, коли ми захочемо повернути вісь  в іншому напрямі. Щоб це зробити, необхідно прикласти значних зусиль, тобто значну силу, величина моменту якої рівна:

.

 

  В реальних ситуаціях при великій масі і швидкості обертання гіроскопа сили, що можуть змінити величину і напрям його моменту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

 

 

Рис. 10

 

імпульсу, часто не досягають такого значення, і   залишається незмінним. Якщо з віссю   такого гіроскопа жорстко з’єднати корпус, наприклад, автомобіля, то це не дозволить йому перевернутись на крутому віражі. Якщо ж з віссю   гіроскопа  з’єднати рульовий механізм літака, одержимо пристрій, що носить назву “автопілот”.

 

Платформа Жуковського

 

Як відомо,  . Розглянемо приклад із платформою Жуковського, яка може обертатись з малим тертям навколо своєї осі симетрії (рис.11). Якщо в центрі платформи стоїть людина з розпростертими руками (рис. 11,а) і платформа обертається, то маємо певні значення   та  , а значить і  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         а)               Рис. 11                      б)

 

  Коли людина опустить руки (рис. 11,б), момент інерції   її зменшиться, а значить зменшиться момент інерції системи людина-платформа, і як показує експеримент, у стільки ж разів збільшиться  . При цьому добуток   залишиться постійним.

 

Тобто якщо момент зовнішніх сил   , то  .