Тема 38. Власна провідність напівпровідників.

Власна провідність напівпровідників (2 год.)

Мета: Навести механізми власної провідності.

План

1. Енергія Фермі.

2. Ефективна маса.

Література: [5], [7] – основна; [1], [2] – додаткова.

Рівень Фермі у власному напівпровіднику

У випадку власного напівпровідника  , тому умова нейтральності приймає вигляд  . Якщо ширина забороненої зони напівпровідника досить велика, так що вона має дуже багато  , і якщо ефективні маси електронів   та дірок   одного порядку величини, тоді рівень Фермі буде в достатній мірі віддалений від країв зон, і напівпровідник буде невиродженим. В цьому випадку ми маємо наступне співвідношення для концентрацій електронів   та дірок  :

,

звідки знаходимо величину рівня Фермі:

,

де  - енергія середини заборононеї зони.

При температурі абсолютного нуля   рівень Фермі розташований точно посередині забороненої зони. При підвищенні температури він віддаляється від зони більш важких носіїв заряду і наближається до зони більш легких.

Із виразу для рівня Фермі видно, що якщо   та   сильно відрізняються по величині, то при підвищенні температури рівень Фермі може наблизитись до зони легких носіїв на віддаль порядку  , або навіть опинитися всередині зони. Тому такі напівпровідники при нагрівання можуть стати виродженими.

Рівень Фермі у власному напівпровіднику

У випадку власного напівпровідника  , тому умова нейтральності приймає вигляд  . Якщо ширина забороненої зони напівпровідника досить велика, так що вона має дуже багато  , і якщо ефективні маси електронів   та дірок   одного порядку величини, тоді рівень Фермі буде в достатній мірі віддалений від країв зон, і напівпровідник буде невиродженим. В цьому випадку ми маємо наступне співвідношення для концентрацій електронів   та дірок  :

,

звідки знаходимо величину рівня Фермі:

,

де  - енергія середини заборононеї зони.

При температурі абсолютного нуля   рівень Фермі розташований точно посередині забороненої зони. При підвищенні температури він віддаляється від зони більш важких носіїв заряду і наближається до зони більш легких.

Із виразу для рівня Фермі видно, що якщо   та   сильно відрізняються по величині, то при підвищенні температури рівень Фермі може наблизитись до зони легких носіїв на віддаль порядку  , або навіть опинитися всередині зони. Тому такі напівпровідники при нагрівання можуть стати виродженими.

Ефективна маса - величина, яка характеризує інерційні властивості квазічастинок із параболічним законом дисперсії.

Ефективна маса здебільшого позначається латинською літерою m із астериском: m^*. До цього позначення додається нижній індекс, який вказує, до якої із квазічастинок це позначення стосується. Використовується індекс "e" для електронів, "h" для дірок, "ex" для екситонів і т.п.

Ефективна маса вимірюється здебільшого в одиницях маси вільного електрона.

Ефективна маса використовується у напівкласичному описі кінетичних явищ в твердих тілах. Рух квазічастинки, наприклад, електрона провідності, дірки чи екситона у зовнішніх полях в багатьох випадках аналогічний руху вільної частинки у вакуумі, проте із іншою масою.

Математичне формулювання

Квазічастинки характеризуються законом дисперсії, тобто залежністю енергії від квазі-імпульсу. У багатьох випадках найважливішими є ті стани квазічастинок, які мають найменшу енергію, тобто знаходяться поблизу мінімумів закону дисперсії. В околі мінімуму закон дисперсії можна розкласти в ряд і зобразити у вигляді

,

де   - енергія,   - хвильовий вектор,   - енергія дна зони,   - точка зони Брілюена, в якій досягається мінімум дисперсійної кривої,   - характерні для даного кристалу й даної квазічастинки коефіцієнти розкладу.

.

Тензор ефективної маси вводиться таким чином, щоб

.

Ефективна маса в загальному випадку тензорна величина. У випадку, коли мінімум дисперсійної кривої знаходиться в центрі зони Брілюена (Γ точка), ефективна маса стає скаляром. Така ситуація реалізується, наприклад, для електронів провідності в арсеніді галію, для дірок у кремнії чи германії. У цьому випадку закон дисперсії квазічастинки в околі дна зони записується у вигляді

.

У випадку електронів провідності в кремнії існує 6 еквівалентних мінімумів дисперсійної кривої в зоні Брілюена (6 долин). В такому випадку ефективна маса суттєво тензорна величина. Тензор другого рангу можна привести до діагональної форми, перейшовши у власну систему координат. В цій системі координат, осі якої збігаються із осями кубічної кристалічної ґратки, тензор ефективної маси має вигляд

Ефективні маси поширених напівпровідників

Вказані в таблиці значення можна використовувати для обчислення густини станів. Для опису кінетичних явищ потрібно враховувати анізотропію

Матеріал	Електрон	Дірка
Група IV
Si (4.2K)	1.08	0.56
Ge	0.55	0.37
III-V
GaAs	0.067	0.45
InSb	0.013	0.6
II-VI
ZnO	0.19	1.21
ZnSe	0.17	1.44