Потенціал електричного поля. Напруженість як градієнт потенціалу

Розглянемо поле, яке створюється нерухомим точковим зарядом q у вакуумі (рис. 73). Нехай в електростатичному полі заряду q вздовж довільної траекторії з точки 1 в точку 2 переміщується інший точковий заряд   під дією сили. Робота сили на елементарному переміщенні   дорівнює:

Робота при переміщенні заряду   з точки 1 в точку 2 дорівнює:

Ця робота не залежить від траєкторії переміщення, а визначається лише початковим (1) і кінцевим (2) положенням заряду. Отже, електростатичне поле точкового зарядує потенціальним, а електростатичні сили – консервативними.

Оскільки робота консервативних сил виконується за рахунок зменшення по- тенціальної енергії, то

Отже, потенціальна енергія заряду   в полі заряду q у вакуумі дорівнює:

Домовимось вважати потенціальну енергію заряду   такою, що дорівнює нулю на нескінченно великій відстані від q. При r   і  . Тому потенціальна енергія заряду  , що перебуває на відстані r від точкового заряду q, дорівнює

.

Якщо заряди  та q однойменні, то потенціальна енергія їхньої взаємодії (відштовхування) додатна і зростає при зближенні цих зарядів (рис. 74). У випадку взаємного притягання різнойменних зарядів потенціальна енергія їхньої взаємодії від’ємна і зменшується при наближенні одного із зарядів до іншого.

Потенціальна енергія   заряду   що перебуває в полі точкових зарядів  , дорівнює сумі його потенціальних енергій   у полях, що створюються кожним зарядом зокрема:

,

де  відстань від заряду   до заряду  .

Величина  , однакова для всіх зарядів в даній точці поля, називається потенціалом поля.

Потенціалом   будь-якої точки електростатичного поля називають фізичну величину, яка числово дорівнює потенціальній енергії одиничного позитивного заряду, поміщеного в цю точку.

Одиниця потенціалу – вольт.   – це потенціал такої точки поля, в якій заряд в   має потенціальну енергію в  .

Потенціал поля, створеного одним точковим зарядом q у вакуумі, дорівнює:

.

Роботу, яку виконують електроста- тичні сили при переміщенні заряду  від точки 1 до точки 2 електростатичного поля, можна записати так:

,

де   та  – потенціали поля в точках 1 та 2.

Якщо заряд   з точки з потенціалом   віддаляється в нескінченність  , тоді робота сили поля буде дорівнювати  . Звідси

.

Потенціал даної точки електростатичного поля – це така фізична величина, яка числово дорівнює роботі, яку виконують зовнішні сили (проти сил електростатичного поля) при переміщенні одиничного позитивного заряду з нескінченності в дану точку поля.

Потенціал поля, яке створюється системою зарядів, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів, створених кожним із зарядів зокрема:

 .

Нехай маємо заряд q в електростатичному полі. Переміщаючи його в просторі, електричне поле виконає деяку роботу (розглядаємо для простоти переміщення вздовж осі  ). Величина цієї роботи визначається за формулою

.

З іншого боку, робота при переміщенні заряду q в електростатичному полі виражається через потенціали цього поля  . Отже, елементарна робота становитиме:

.

Тоді, прирівнявши елементарні роботи, отримаємо:

,  .

Знак “–“ означає, що під дією сил електричного поля заряд переміщується в бік зменшення потенціалу.

Аналогічні міркування можна поширити і на напрямки переміщень вздовж осей  і  .

; .

Отже, ми знайшли   та  – компоненти вектора напруженості E:

.

Це рівняння можна переписати так:

.

У векторному аналізі градієнтом скалярної величини   називається така векторна величина, для якої справедливий запис:

.

Отже,

.

Знак "–" вказує на те, що вектор   напруженості поля напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу. Напруженість в якій-небудь точці електростатичного поля дорівнює градієнту потенціалу в цій точці, взятому з оберненим знаком.

Знаючи потенціал   в кожній точці поля, за формулою   можемо обчислити напруженість в кожній точці поля. Можна розв'язати і обернену задачу, тобто знаючи напруженість поля в кожній точці поля, можна знайти різницю потенціалів між двома довільними точками.

Робота із переміщення заряду з точки 1 в 2 дорівнює:

,

але, з іншого боку,

.

Звідси

.

Інтеграл можна брати довільним шляхом, який з'єднує точки 1 та 2, оскільки електростатичне поле є консервативне.

При обході по замкненому контуру заряд потрапляє в кінцеву точку поля, яка збігається з початковою і  , отже

.

Цей інтеграл називають циркуляцією вектора напруженості вздовж замкненого контуру.

Циркуляція вектора напруженості електростатичного поля вздовж замкненого контуру дорівнює нулю.

Векторне поле   називається потенціальним, якщо циркуляція вектора   по довільному замкненому контуру дорівнює нулю.

Геометричне місце точок з однаковим потенціалом називається еквіпотенціальною поверхнею.

Тороид представляет собой свернутый в тор соленоид, ось симметрии которого имеет форму окружности. Криволинейность оси симметрии тороида – это то, что прежде всего отличает тороид от бесконечно длинного соленоида. Как и в соленоиде, в любой точке каждого витка тороиде имеется контурная составляющая тока I_cn , описанная на странице, посвященной соленоиду, и создающая вихревое поле внутри свернутого соленоида и токовый дипольный заряд (дипольный момент). Напряженность этого вихревого поля пропорциональна числу контуров (числу витков). Имеется также и осевая составляющая тока I_l , касательная к свернутой в окружность оси симметрии соленоида.