Тема 5. Динаміка обертального руху. Динаміка обертального руху. (2 год.)

Мета: Навчитись визначати момент сили та імпульсу та розраховувати кінетичну енергію обертального руху.

План

1. Кінетична енергія обертального руху.

2. Момент енерції. Теорема Штейнера.

3. Основне рівняння обертального руху.

4. Момент сили. Момент імпульсу.

5. Закон збереження моменту імпульсу.

Рівняння динаміки обертального руху

 

Нехай система складається з n матеріальних точок так, що маса системи (твердого тіла)

,

 

де   – маса і-тої матеріальної точки.

 

Розглянемо обертальний рух такої системи відносно осі обертання. Положення і-тої матеріальної точки системи визначається радіус-вектором  , проведеним з центра мас системи. Позначимо   силу, що діє на і-ту точку з боку к-тої,   - рівнодійну зовнішніх сил, що діють наі-ту точку.

 

Тоді за другим законом Ньютон, для і-тої матеріальної точки рівняння руху набере вигляду:

 

.

 

 

Помножимо векторно це рівняння на  :

 

.

 

Так як вектор   співнаправлений з вектором  , то знак диференціала зліва виносимо за векторний добуток. Покажемо це:

 

.

 

Враховуючи, що  ,

 

=0.

 

Отже рівняння руху набере вигляду:

 

.

 

Перепишемо наше рівняння руху і-тої матеріальної точки враховуючи поняття моменту імпульсу і моменту сили:         

 

.

 

Для системи n - матеріальних точок рівняння руху набере вигляду:

 

.

 

Величина

 

називається результуючим моментом зовнішніх сил системи точок (твердого тіла) відносно осі обертання.

Величина

 

 

називається результуючим момент імпульсу системи точок (твердого тіла) відносно осі обертання.

 

Відповідно до ІІІ закону Ньютона

 

=0,

 

бо при такому сумуванні завжди наявні пари сил  .

 

  Враховуючи останні заміни отримуємо основний закон динаміки обертального руху системи матеріальних точок (твердого тіла):

 

.

 

Його формулювання: швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої осі, дорівнює результуючому моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, прикладених до тіла.

 

4.8. Момент імпульсу і момент інерції

 

Відомо, що для і-тої матеріальної точки момент імпульсу в скалярній формі задається формулою:

.

Якщо замість лінійної швидкості підставити її вираз через кутову :

 

,

 

то вираз для моменту імпульсу набере вигляду:

 

,

або

.

  

Величина

 

називається моментом інерції і-тої матеріальної точки абсолютно твердого тіла відносно осі, що проходить через його центр мас. Тодімомент імпульсу матеріальної точки запишемо:

 

.

 

Враховуючи, що момент інерції є адитивною величиною, тобто

 

,

 

момент імпульсу абсолютно твердого тіла (системи матеріальних точок) запишемо як суму моментів імпульсу матеріальних точок, що складають дане тіло:

 

,

 

.

 

4.9. Момент сили і момент інерції

 

Відповідно до  основним законом динаміки обертального руху

 

.

 

Відомо, що момент імпульсу тіла можна представити через момент інерції:

 

.

 

Тоді

.

 

 

Враховуючи, що кутове прискорення визначається виразом:

 

 

,

 

одержимо формулу для моменту сили представленого через момент інерції:

 

.

 

  Зауваження. Момент сили вважається додатнім, якщо кутове прискорення, що ним спричинене, більше від нуля, і навпаки.