Теорема про рух центра мас механічної системи:

 

Для характеристики руху системи матеріальних точок вводять поняття центра мас системи.

 

Центром мас (центром інерції) системи матеріальних точок називається точка С, радіус-вектор якої рівний відношенню суми добутків мас всіх точок системи на їх радіус-вектори до маси всієї системи:

 

,

де

 

.

 

Швидкість руху центра мас системи визначим так:

 

.

 

Тоді

.

 

Враховуючи, що

,

 

остаточно отримаємо

,

 

де  - маса системи матеріальних точок.

 

Перепишемо останнє рівняння у вигляді:

 

.

 

Продиференціюємо даний вираз по часу:

 

.

 

Враховуючи закон зміни імпульсу механічної системи одержимо математичний запис теореми про рух центра мас:

 

.

 

Теорема про рух центра мас: центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої рівна масі всієї системи і на яку діє зовнішня сила, що дорівнює рівнодійній всіх зовнішніх сил, що діють на дану систему.

 

Зауваження. Внутрішні сили взаємодії частин системи між собою можуть викликати зміни швидкостей цих частин системи, але не можуть вплинути на сумарний імпульс системи, чи швидкість її центра мас.

 

Центр мас системи співпадає з центром ваги системи в однорідному полі тяжіння.

 

Центром ваги називають точку, до якої прикладають рівнодійну всіх сил, що діють на частини системи в однорідному полі тяжіння.

 

Розмірність сили в СІ:

.

Розмірність імпульсу:

.

Тема 4. Закони збереження в механіці. Закони збереження енергії та імпульсу в механіці (2 год.)

Мета: Навчитись визначати імпульс тіла. Вивчити закони збереження імпульсу та механічної енергії.

План

1. Імпульс. Закон збереження імпульсу.

2. Центр мас.

3. Робота і потужність.

4. Закон збереження енергії в механіці.

Закон збереження механічної енергії

У механіці закон збереження енергії стверджує, що в замкненій системі частинок, повна енергія, що є сумою кінетичної і потенціальної енергії не залежить від часу, тобто єінтегралом руху. Закон збереження енергії справедливий тільки для замкнених систем, тобто за умови відсутності зовнішніх полів чи взаємодій.

Сили взаємодії між тілами, для яких виконується закон збереження механічної енергії називаються консервативними силами. Закон збереження механічної енергії не виконується для сил тертя, оскільки за наявності сил тертя відбувається перетворення механічної енергії в теплову.

Математичне формулювання

Еволюція механічної системи матеріальних точок з масами   за другим законом Ньютона задовольняє системі рівнянь

,

де   - швидкості матеріальних точок, а   - сили, що діють на ці точки.

Якщо подати сили, як суму потенціальних сил   і непотенціальних сил  , а потенціальні сили записати у вигляді

,

то, домножуючи усі рівняння на   і можна отримати

Перша сума в правій частині рівняння є ні чим іншим, як похідною по часу від складної функції, а отже, якщо ввести позначення

і назвати цю величину механічною енергією, то, інтегруюючи рівняння від моменту часу t=0 до моменту часу t, можна отримати

,

де інтегрування проводиться вздовж траєкторій руху матеріальних точок.

Таким чином,

Зміна механічної енергії системи матеріальних точок з часом дорівнює роботі непотенціальних сил.

Закон збереження енергії в механіці виконується тільки для систем, у яких всі сили потенціальні^[4].

Ще на ранніх етапах розвитку фізики рівняння механіки використовувалися до небесних тіл, для яких непотенціальні сили, наприклад, сила тертя, дуже малі і ними можна знехтувати. Непотенціальних сил не існує також у мікросвіті атомів і молекул. В цих системах закон збереження механічної енергії відіграє ключову роль. А от на побутовому рівні, в світі земних природних явищ і машин, механічна енергія не зберігається. Тому повне формулювання закону збереження енергії вимагає вивчення теплових явищ.

Однорідність часу

Закон збереження енергії пов'язаний із однорідністю часу, а саме із принципом, згідно з яким жодна мить жодним чином не відрізняється від іншої, тож одинакові фізичні системи за одинакових умов завжди еволюціонуватимуть однаково. Щодо цього закон збереження енергії є частковим випадком загальної теореми Нетер.

З точки зору аналітичної механіки, однорідність часу зводиться до твердження, що механіка Лагранжа чи Гамільтона класичної системи не залежить від часу безпосередньо, а лише опосередковано, через узагальнені координати.

В квантовій фізиці у випадку, коли гамільтоніан фізичної системи не залежеть від часу, можна перейти від часового рівняння Шредінгера до стаціонарного рівняння Шредінгера. В такому випадку енергія стає інтегралом руху, але приймає лише певні значення, визначені із розв'язку відповідної задачі на власні значення. Говорять, що енергіяквантується.

Закон збереження енергії в термодинаміці

У термодинаміці закон збереження енергії встановлює співвідношення між внутрішньою енергією тіла, кількістю теплоти, переданою тілу і виконаною роботою.

Термодинаміка вивчає здебільшого нерухомі тіла, кінетична і потенціальна енергія яких залишається незмінною. Однак, ці тіла можуть виконувати роботу над іншими тілами, якщо, наприклад, змінювати їхню температуру. Отже, оскільки нагріте тіло може виконувати роботу, воно має певну енергію. Ця енергія отримала назву внутрішньої енергії. З точки зору фізики мікросвіту - фізики атомів і молекул, внутрішня енергія тіла є сумою кінетичних і потенціальних енергії частинок, з яких це тіло складається. Однак, з огляду на велику кількість та малі розміри частинок і загалом невідомі закони їхньої взаємодії, внутрішню енергію тіла визначити важко, виходячи з його будови. Проте очевидно, що вона залежить від температури тіла.

Визначальним моментом для встановлення закону збереження енергії стало встановлення еквівалентності між теплом, кількісною характеристикою якого є кількість теплоти, і механічною роботою. Якщо тілу надати певну кількість теплоти Q, то частина її піде на виконання механічної роботи A, а частина на збільшення внутрішньої енергії тіла:

,

Ця формула складає основу першого закону термодинаміки.

Аналогічним чином при виконанні механічної роботи, частина енергії втрачається у вигляді тепла, тобто йде на підвищення температури тіла й навколишнього середовища.

Загалом сумарний притік енергії в систему мусить дорівнювати сумарному відтоку енергії з системи, плюс зміна енергії тіл, з яких складається сама система. Іншими словами,енергія може бути перетворена з одної форми в іншу, але не може бути створена чи знищена.

Закон збереження енергії виключає можливість створення вічного двигуна (perpetuum mobile) першого роду.

Рівняння неперервності

В неізольованих фізичних системах енергія може перепливати із однієї просторової частини системи до іншої. В такому випадку закон збереження енергії набирає вигляду рівняння неперервності

,

де   - густина енергії,   - густина потоку енергії.

Це рівняння означає, що зміна енергії певного елементарного об'єму з часом дорівнює різниці між притоком енергії в цей елементарний об'єм та відтоком енергії з нього.

Такий вигляд має, зокрема рівняння теплопровідності.

Перетворення енергії

Енергія одного виду може перетворюватися в енергію іншого виду, наприклад, хімічна енергія може перетворюватися в теплову, а теплова енергія в механічну тощо.

В молекулі хімічної сполуки атоми зв'язані між собою хімічними зв'язками. Для того, щоб розірвати хімічний зв'язок потрібно затратити певну енергію, значення якої визначається типом зв'язку. В одних молекулах енергія зв'язку більша, в інших менша. Так, енергія зв'язку в молекулі вуглекислого газу СО₂ більша, ніж сумарна енергія атома карбону у вугіллі й атомів оксигену в молекулі кисню O₂. Тому можлива хімічна реакція горіння, внаслідок якої утворюється вуглекислий газ, а залишки хімічної енергії передаються поступальному, тепловому руху молекул, тобто перетворюються в тепло. Виділене внаслідок горіння тепло можна використати, наприклад, для нагріву пари впаровій турбіні, яка, обертаючись, створює електрорушійну силу в генераторі, продукуючи електроенергію. Електроенергія може, в свою чергу використовуватися для виконання механічної роботи, наприклад, підйому ліфта, або ж для освітлення, де електрична енергія перетворюється в енергію електромагнітних хвиль - світла.

Закон збереження моменту імпульсу: стверджує, що момент кількості руху у замкненій системі зберігається під час еволюції цієї системи з часом.

Момент імпульсу замкнутої системи тіл залишається незмінним при будь-яких взаємодіях тіл системи.

Закон збереження кількості руху є наслідком ізотропності простору.

Механіка Лагранжа

Найпростіше закон збереження імпульсу формулюється й доводиться в Лагранжевій механіці.

Ізотропність простору значить, що функція Лагранжа L не залежить від вибору системи координат. Виберемо будь-яку вісь й візьмемо за узагальнену координату кут повороту   навколо цієї осі. Незалежність функції Лагранжа від цього кута означає

,

тобто момент сили дорівнює нулю.

Тоді, Згідно з рівнянням Лагранжа

тобто часова похідна від моменту імпульсу дорівнює нулю. Сам момент імпульсу тоді є інтегралом руху.

.

Квантова механіка

В квантовій механіці момент імпульсу не лише зберігається, а й квантується, тобто може мати лише певні, цілком визначені значення. Принцип невизначеності Гайзенберганакладає обмеження на закон збереження. Одночасно визначеними можуть бути лише одна із просторових компонент моменту кількості руху й квадрат моменту кількості руху. Інші дві просторові компоненти залишаються в такому стані абсолютно невизначеними.

Додатково заплутує ситуацію така властивість квантових часток, як спін. Закон збереження моменту імпульсу справедливий лише при малих швидкостях руху, коли обертовий момент не взаємодіє із спіном. Значна спін-орбітальна взаємодія призводить до того, що не зберігаються ані спін, ані кутовий момент зокрема, а лише повний момент, що є сумою спіну й кутового моменту.

Механічна робота та потужність

Механічна робота - це скалярна фізична величина, яка є мірою одної дії сили Р під час переміщення 8 точки її прикладання.   За значенням і напрямком постійна, а рух -ййний, то робота визначається'за формулою:

де a  кут між напрямком сили і переміщенням тіла .Одиниця роботи у системі СІ - Дж. Дж = Н-м.

Потужність - скалярна фізична вели­чина, яка дорівнює відношенню роботи А до проміжку часу /, протягом якого вона була виконана: 

Одиниця потужності у системі СІ - Вт. Вт = Дж/с.

Проаналізуємо формулу роботи  . Робота - алгебраїчна величина. Робота може бути додатною (А > 0) при гострому куті (а < П/2 ), та  від'ємною (А < 0) при тупому куті (а>-П/2). Наприклад, робота сили тяжіння при вільному падінні V те з висоти /г - додатна, А = тgН (а = 0) 

Робота сил тертя завжди від'ємна, оскільки під час руху сила тертя спрямована в бік, протилежний переміщенню (а = П ):

Оточуючий нас світ є матеріальним, тобто існує незалежно від нашої свідомості. Філософська категорія для визначення об'єк­тивної реальності, що відбивається нашою свідомістю, називається матерією. Спосіб існування матерії - це різноманітність форм її руху, а формами існування є простір і час.

Імпульс тіла

Мірою механічного руху, яка визначає можливість передачі механічного руху від одного тіла до іншого, є кількість руху абоімпульс тіла Р. Імпульс тіла - це векторна фізична величина, напрям якої співпадає з напрямом швидкості v :Р=M*V.Повний імпульс системи тіл Р дорівнює векторний сумі імпульсів окремих тіл: 

Якщо на систему тіл зовнішні сили не діють або вони врівноважені, то така система називається замкнутою,, для неї виконується закон збереження імпульсу: повний імпульс зсщгеиутої системи тіл залишається незмінним за будь-яких взаємодій тіл цієї системи між собою:

Будь-яких сильних взаємодіях тіл або їх частин, наприклад іостріл з рушниці і тому подібне, можна розглядати (йрчі тіла як замкнуту систему, оскільки сили взаємодії Ь більші за інші зовнішні сили.

 Для  замкнутої системи сума проекцій імпульсу на будь-який ; (координатну вісь) не змінюється:

це застосовується при розв'язанні задач на закон збере-^імпульсу. На законі збереження імпульсу заснований ц реактивного руху, що виникає при відокремленні від тіла, одиться в стані спокою, деякої його частини з якоюсь швидкістю.

За законом збереження імпульсу:   або   

 тобто друга частина тіла отримає такий же самий імпульс, що і ві­докремлена частина, тільки спря-гис.і.зи           мований протилежно.

Енергія - це загальна кількісна міра руху і взаємодії всіх видів матерії та їх взаємних перетворень. Таким чином, поняття енергії, як і матерії, є філософською категорією. Однак конкретні види енергії (кінетична, потенціальна, механічна, внутрішня та ін.) мають цілком конкретний фізичний зміст.

Розглянемо роботу при русі тіла масою т по гладкій го­ризонтальній поверхні під дією сили F, спрямованої також горизонтально. Робота цієї сили  , де S - переміщення або шлях. За другим законом Ньютона   Рух тіла, рівно-прискорений, тому  з урахуванням цього роботи

Величина     називається кінетичною енергією, тобтоенергією тіла, що рухається. Таким 

чином, робота постійної сили, яка переміщує тіло горизонтально при відсутності тертя, дорівнює його кінетичній енергії або зміні кінетичної енергії:    

Це положення називають теоремою про кінетичну енергію.

Кінетична енергія, як і швидкість, залежить від системи відліку, тоїбт® є відносною величиною.

«•ДГіла, що взаємодіють гравітаційними та електричними силами, вважаютьаоть також і потенціальною енергією. Гравітаційна та елейРрична взаємодії здійснюються за допомогою гравітаційного та електричного полів. Поле — це об'єктивна реальність (вид матерії),якої здійснюється взаємодія. Гравітаційні та електричні сили мають важливу властивість: робота цих сил не залежить від траєкторії руху, а залежить тільки від початкового  положення тіла.

і^ЦНаприклад, робота по переміщенню тіла масою т в полі тя3|№їя Землі з точки 7 в точку 2 по різним траєкторіям а, однакова: 

Знак "мінус" для А вра­ховує, що при переміщенні тіла з точки / в точку 2 робота здій­снюється проти сили тяжіння, то­му що напрямок переміщення і напрямок сили складають тупий кут(0<а<П).Робота сили тяжіння по пе­реміщенню того ж тіла з точки 2 в точку / по будь-якій траєкторіїдодатна (0<а<-^-) 

Очевидно, що для будь-якої замкненої траєкторії робота сили Я буде дорівнювати нулю. Поле сил, робота яких по будь-якій траєкторії (контуру) дорівнює нулю, називається ціальним, а сили - консервативними. Роботу цих сил можна -йти як різницю потенціальних енергій. В визначенням: робота сил потенціального поля по перемі-тіла з точки 1 в точку 2 дорівнює різниці потенціальних і в цих точках:

Перепишемо цей вираз таким чином:

Кофіціент корисної дії

Коефіцієнт корисної дії машин (механізмів) дорівнює від­ношенню корисної роботи Ak, яка виконується машиною, до всієї  виконаної (повної) роботи Az : 

   або     

 Враховуючи, що     або      

Na - корисна, а Nz - повна потужність.