Тема 17. Загасаючі коливання Загасаючі коливання (2 год)

Мета: Ввести поняття електромагнітних коливань та параметрів, що їх описують.

План

1. Механічні та електромагнітні загасаючі коливання та їх характеристики.

2. Логарифмічний декремент затухання.

2-1 Змiщення - [-]; (displacement, смещение) - фiзична величина, що дорiвнює вiдхиленню величини, яка змінюється шляхом коливання вiд її значення у станi стійкої рiвноваги системи.

Розмiрнiсть та одиниця змiщення вiдповідають розмiрностi та одиницi величини, яка коливається. Наприклад, для пружинного маятника, в якого перiодично змiнюється лiнiйна координата вантажу, причепленого до пружини, для зміщення х цієї координати від положення стійкої рівноваги маятника (х = 0) маємо:

dim x = L,        [x] = 1 м,

а для коливального контуру, що складається з електричного опору, ємності та індуктивності, для зміщення q електричного заряду від рівноважного значення (q = 0) - відповідно

dim q = T^-1I,        [q] = 1 Кл.

2-1.1 Амплiтуда коливань - [A]; (amplitude, амплитуда) - фiзична величина, що дорiвнює найбiльшому за числовим значенням змiщенню.

Розмiрнiсть та одиниця амплiтуди коливань збiгаються з розмiрнiстю та одиницею змiщення.

2-1.2 Розмах - [-]; (swing, размах) - фiзична величина, що дорiвнює рiзницi мiж найбiльшим та найменшим числовими значеннями змiщення протягом розглядуваного промiжку часу. Розмах завжди є додатною величиною, яка не перевищує подвійної амплiтуди.

Розмiрність та одиниця розмаху завжди збiгаються з розмiрнiстю та одиницею змiщення.

2-2 Фаза (коливань) - [φ]; (phase, фаза колебаний) - фiзична величина, яка разом з амплiтудою А цiлком визначає стан процесу коливань у всi моменти часу t. У рівняннi гармонічних коливань, якi, наприклад, описуються одновимірним змiщенням x(t), фаза є аргументом гармонiчної функції (sin, cos, exp):

x(t) = Re[Aexp{iφ(t)}] = Acosφ(t),

де і - уявна одиниця; Re – символ, що позначає дійсну частину комплексного числа.

Фаза коливань є безрозмiрнісною величиною, тобто

dim φ=1,        [φ]=1рад.

Отже, аналогічно до площинного кута, фаза має дві рівноправні одиниці: когерентну одиницю СІ - один та радіан.

2-2.1 Початкова фаза - [φ_o]; (initial phase, начальная фаза) - фiзична величина, яка дорiвнює значенню фази в початковий момент часу.

dim φ_o=1,        [φ_o]=1=1рад.

2-3 Перiод (коливань), час періоду - [T]; (period of oscillations, time of period; период колебаний, время периода) - фiзична величина, що дорiвнює промiжку часу, протягом якого завершується один повний цикл коливального процесу, тобто вiдбувається повторення стану фiзичної системи. У гармонiчних коливаннях протягом перiоду фаза коливань змiнюється на 2π.

dim T = T,        [T] = 1 с.

2-4 Час релаксації - [τ]; (relaxation time, время релаксации) - фiзична величина, що дорівнює промiжку часу, за який амплiтуда загасаючих коливань зменшується в e разiв (e - основа натуральних логарифмiв).

dim τ = T,        [τ] = 1 с.

2-5 Частота (коливань) - [v, f]; (frequency of oscillations, частота колебаний) - фiзична величина, що дорiвнює кiлькостi перiодiв коливань за одиничний промiжок часу:

v = 1/T.

dim v = T^-1,        [v] = 1 с^-1 = 1 Гц.

Герц (Hz, Гц) - дорiвнює частотi перiодичного процесу, при якiй за 1 с вiдбувається один цикл цього процесу.

Рекомендовано такі кратні одиницi частоти: ТГц, ГГц, МГц, кГц. У технiцi ще й досi часто застосовують стару назву одиниці частоти - цикл за секунду, що є не допустимим.

2-5.1 Обертова частота - [n]; (rotational frequency, вращательная частота) - фізична величина, що дорівнює відношенню кількості N повних обертів тіла, що обертається, до проміжку часу t, за який вони відбулись:

n = N/t. dim n = T^-1,        [n] = 1 с^-1.

Cекунда в мінус першому степені - (s^-1, с^-1) - обертова частота рівно-мірного обертання, при якій один повний оберт тіла відбувається за 1 с.

Допустимими до застосування нарівні з одиницями СІ є позасистемна неметрична частинна одиниця:

хвилина в мінус першому степені (min^-1, хв^-1): 1 хв ^-1 = 1/60 с^-1.

Як одиницю обертової частоти в такій спеціальній галузі промисловості, як машинобудування, допустимо використовувати позасистемні одиниці :

оберт за секунду (r/s, об/с): 1 об/с = 1 с^-1,

оберт за хвилину(r/min, об/хв): 1 об/хв = 1/60 с^-1.

У закордонній технічній літературі для цих одиниць можна зустріти нестандартні скорочення: r.p.s. та r.p.m. відповідно. Зауважимо, що для обертової частоти можна використовувати одиницю герц і, навпаки, для частоти (коливань) - одиницю секунда в мінус першому степені.

2-6 Кутова частота, колова частота - [ω]; (angular frequency, угловая частота) - фiзична величина, яка дорiвнює похідній за часом вiд фази коливань

ω = dφ/dt.

У разі гармонічних коливань, коли фаза рівномірно зростає з плином часу, замість цієї формули можна записати

ω = (φ-φ_o)/t,

де φ - значення фази коливань у момент часу t; φ_o - початкова фаза при t = 0. Тоді, якщо проміжок часу зміни фази дорівнює періоду коливань T, то

ω = 2π/T = 2πf. dim ω = T^-1,        [ω] = 1 с^-1 = 1 рад/с.

Таким чином, кутова або колова частота має дві рівноправні одиниці: когерентну одиницю СІ - секунда в мінус першому степені та радіан за секунду.

Радіан за секунду - (rad/s, рад/с) - дорівнює кутовій частоті гармонічного коливання з періодом 1 с (частотою 1 Гц).

У фізичній літературі кутову частоту часто називають просто частотою. При застосуванні цього поняття до такого періодичного процесу, як обертання тіла, кутова частота набуває назви кутової швидкості (див. Підрозд.4.1).

2-7 Довжина хвилi - [λ]; (wave length, длина волны) - фiзична величина, що дорівнює вiдстані в напрямі поширення гармонічної біжучої хвилі мiж двома її найближчими точками, якi перебувають в однаковій фазi коливань.

dim λ = L,        [λ] = 1 м.

Тимчасово допустимою до застосування одиницею довжини хвилі є позасистемна одиниця ангстрем ( , ): 1   = 10^-10 м.

2-8 Хвильове число - [σ]; (wave number, волновое число) - фiзична величина, обернено пропорційна до довжини хвилі l:

σ = 1/λ. dim σ = L^-1,        [σ] = 1 м^-1.

Метр у мінус першому степені - (m^-1, м^-1) - дорівнює хвильовому числу хвилі, довжина якої 1 м.

2-8.1 Хвильовий вектор - [σ]; (wave vector, волновой вектор) - векторна фiзична величина, модуль якої дорівнює хвильовому числу σ, а напрям збiгається з напрямом поширення бiжучої хвилi.

Природно, що розмiрнiсть та одиниця хвильового вектора такі самі, що й хвильового числа.

Зауважимо, що наведені визначення хвильового числа та хвильового вектора використовуються переважно у фізичній оптиці, особливо в спектрометрії.

2-9 (Кутове) хвильове число - [k]; (angular wave number, (угловое) волновое число) - фiзична величина, що визначається співвідношенням:

k = 2π/λ = 2πσ

де λ - довжина хвилі, σ - хвильове число.

dim k = L^-1,        [k] = 1 м^-1 = 1 рад/м.

Отже, (кутове) хвильове число теж має дві рівнозначні одиниці - метр у мiнус першому степенi та радіан на метр.

Радіан на метр (rad/m, рад/м) - дорiвнює кутовому хвильовому числу для хвилі з кутовим числом 1 м^-1.

2-9.1 (Кутовий) хвильовий вектор - [k]; (propagation vector, (угловой) волновой вектор) - векторна фiзична величина, модуль якої дорівнює кутовому хвильовому числу k, а напрям збiгається з напрямом поширення бiжучої хвилi.

Природно, що розмiрнiсть та одиниця кутового хвильового вектора такі самі, що й кутового хвильового числа.

Зауважимо, що в переважній більшості фізичних праць як хвильове число та хвильовий вектор застосовують щойно визначені величини k та k.

2-10 Фазова швидкість (хвилі) - [v_f, c_f]; (phase velocity, фазовая скорость) - фізична величина, що визначається співвідношенням

v_f = ω/k = λf

де ω - кутова частота, k - кутове хвильове число, λ - довжина хвилі, f - частота.

dim v_f = LT^-1        [v_f] = 1 м/с.

Фазова швидкість хвилі залежить як від параметрів хвилі, так і від властивостей середовища, де ця хвиля поширюється. Зокрема, вона може залежати від напряму поширення хвилі (анізотропне середовище) та частоти хвилі (середовище з дисперсією). Рівняння

ω = kv_f(ω, k)

має назву дисперсійного співвідношення для даного середовища і є основою для вивчення хвильового процесу в цьому середовищі.

2-11 Групова швидкість (хвилі) - [v_g, c_g]; (group velocity, групповая скорость) - фізична величина, що визначається співвідношенням

v_g = dω/dk,

де ω - кутова частота, k - кутове хвильове число.

dim v_g = LT_-1        [v_g] = 1 м/с.

У дисперсійному ізотропному середовищі між фазовою швидкістю v_f та груповою швидкістю vg існує зв’язок

v_g = v_f + dv_f/dk,

тобто групова швидкість може перевищувати фазову або бути меншою від неї залежно від дисперсії фазової швидкості.

2-12 Рівень фізичної величини - [L_Х]; (level of a physical quantity, уровень физической величины) - фізична величина, що дорівнює логарифму відношення даного значення Х величини до порогового (вихідного) значення Х₀ цієї величини:

L_Х = log_a(Х/Х₀),

де а - основа логарифма, що потребує окремого визначення.

Рівень фізичної величини належить до так званих логарифмічних величин і застосовується для характеристики таких фізичних величин, які підпорядковано законам, що мають показниковий, зокрема експоненційний характер. Зміна значень таких величин є пропорційною до самих величин.

При застосуванні рівня величини слід вказувати основу логарифма та порогове значення величини. Останнє можна робити, наприклад, згідно з рекомендаціями Міжнародної електротехнічної комісії [27] - вказуванням значення порогового рівня в дужках після позначення логарифмічної величини з додаванням умовного символу «re» (re - початкові літери слова reference, тобто вихідний, відліковий). Наприклад, рівень звукового тиску дорівнює L_p(re 20 μPa) = 20 dB або L_p (re 20 мкПа) = 20 дБ.

Рівень величини є безрозмірнісною величиною, а його когерентна одиниця СІ - число 1:

dim L_Х = 1        [L_Х] = 1.

Зауважимо, що для рівня величини застосовують позасистемні одиниці непер та бел, визначення яких істотно залежать від виду величини, тому їх наведено далі для конкретних типів величин. Ці одиниці по суті є спеціальними назвами безрозмірнісної одиниці - числа один.

2-12.1 Рівень силової величини- [L_F]; (level of a field quantity, уровень силовой величины) - фізична величина, що дорівнює логарифму відношення даного значення F силової величини до порогового (вихідного) значення F₀ цієї величини:

L_F = ln(F/F₀).

До силових величин належать такі, що характеризують силову дію фізичних полів (звуковий тиск, напруженість електричного поля та ін.), або амплітуду деякого процесу (сигналу) (амплітуда загасаючих коливань, амплітуда хвилі). Силові величини називають також амплітудними величинами.

dim L_F = 1,        [L_F] = 1 = 1 Нп.

Непер - (Np, Нп) - рівень силової величини, за якого значення цієї величини дорівнює помноженому на е (основу натуральних логарифмів) її вихідному значенню, тобтоF/F₀ = е.

Бел - (В, Б) - рівень силової величини, за якого F = 10·F₀, тобто 1 В = log_1/2(F/F₀) = 2lg(F/F₀) при F = 10·F₀; 1 Б = 1,151293 Нп. Набагато частіше, ніж бел, застосовується частинна одиниця:

децибел ( dB, дБ): 1 дБ = 0,1 Б.

2-12.2 Рівень енергетичної величини - [L_Р]; (level of a power quantity, уровень энергетической величины) - фізична величина, що дорівнює половині логарифма відношення даного значення Р енергетичної величини до порогового (вихідного) значення Р₀ цієї величини:

L_Р = 0,5ln(Р/Р₀).

Появу в цьому рівнянні множника 0,5 спричиненно тим, що дуже часто енергія є пропорційною до квадрата амплітуди. До енергетичних належать такі величини, що характеризують енергію фізичного поля (інтенсивність світла, звукова енергія та. Ін) або потужність деякого процесу (сигналу). Енергетичні величини називають також потужнісними величинами.

dim L_Р = 1        [L_Р] = 1 = 1 Нп.

Непер - (Np, Нп) - рівень енергетичної величини, за якого значення цієї величина дорівнює помноженому на е² (е - основа натуральних логарифмів) її вихідному значенню, тобто Р/Р₀ = е².

Бел - (В, Б) - рівень силової величини, за якого Р = 10Р₀, тобто 1 В = lg(Р/Р₀) при Р = 10Р₀; 1 Б = 1,151293 Нп. Набагато частіше, ніж бел, застосовується частинна одиниця:

децибел ( dB, дБ): 1 дБ = 0,1 Б.

2-13 Коефiцiєнт зaгасання - [δ]; (damping factor, коэффициент затухания) - фiзична величина, обернена до часу релаксації:

δ = 1/τ. dim δ = T^-1,        [δ] = 1 с^-1.

Секунда у мiнус першому степенi (s^-1, c^-1) - дорівнює коефiцiєнту загасання, при якому за час 1 с амплітуда загасаючих коливань зменшується в e разiв.

Нарівні з визначеною одиницею для коефіцієнта загасання допустимо використання логарифмічних одиниць:

непер на секунду (Np/s, Нп/с): 1 Нп/с = 1 с^-1,

бел на секунду (B/с, Б/c): 1 Б/c = 1,151293 Нп/с,

децибел на секунду (dB/s, дБ/с): 1 дБ/с = 0,1151293 Нп/с.

2-14 Логарифмiчний декремент (загасання) - [Λ] (logarithmic decrement, логарифмический декремент (затухания)) - фiзична величина, що дорiвнює натуральному логарифму відношення двох послідовних максимальних або двох послідовних мiнiмальних значень величини, яка змінюється шляхом коливання при загасаючих власних коливаннях:

Λ= ln[A(t)/A(t+T)],

де A - максимальне значення (амплітуда) величини, що змінюється шляхом коливання; Т - період коливання.

dim Λ = 1,        [Λ] = 1.

Логаріфмічний декремент загасання визначає рівень амплітуди коливань, тому для нього можна застосувувати логаріфмічні одиниці рівня силової величини непер, бел та децибел.

2-15 Добротнiсть - [Q]; (Q - factor, добротность) - фiзична величина, що характеризує резонанснi властивостi коливальної системи i дорівнює вiдношенню резонансної частоти ω₀ до ширини резонансної кривої Δω на рівні зменшення амплiтуди в  2 разiв:

Q = ω_p/Δω

У системах, де вiдбуваються слабозагасаючi коливання, добротнiсть пов’язана з логарiфмiчним декрементом спiввiдношенням

Q = π/Λ. dim Q = 1,        [Q] = 1.