Тема 33. Функція розподілу.

Функція розподілу (2 год.)

Мета: Ввести основні функції розподілу.

План

1. Розподіли Фермі-Дірака Бозе-Ейнштейна і Максвелла-Больцмана.

2. Критерій виродження..

Література: [1], [3], [5], [7], [9], [10] – основна; [1] – додаткова.

Статистика Фермі—Дірака — особливий вид розподілу частинок за енергією, характерний для ферміонів.

Оскільки ферміони — це частинки, які не можуть перебувати в квантовомеханічному стані з одинаковими кватновими числами, ця заборона накладає обмеження на їхній розподіл за енергією. Ймовірність знайти ферміон у певному стані   із енергією  задається формулою

.

Тут   - хімічний потенціал,   - стала Больцмана, T - температура.

Характерною особливістю цього розподілу є одиниця в знаменнику. Вона визначає особливий вигляд розподілу Фермі-Дірака.

Хімічний потенціал   визначається із умови нормування розподілу й залежить від повного числа часток в системі N.

.

Властивості

В основному стані ферміони займають якомога нижчі енергетичні рівні. Накладена принципом виключення Паулізаборона призводить до того, що при нульовій тепературі, коли реалізується основний стан, усі найнижчі одноферміонні рівні зайняті. Найвищий зайнятий у такому стані рівень називається рівнем Фермі. Функція розподілу має вигляд сходинки (див. рисунок)

При збільшенні температури, існує певна ймовірність того, що ферміони системи матимуть енергію, вищу за енергію рівня Фермі. Завдяки цьому існує відмінна від нуля ймовірність того, що рівень із енергією нижчою за енергією рівня Фермі, стане вільним. Чим вища тепература, тим пологішою стає крива розподілу. При дуже високих температурах розподіл Фермі-Дірака переходить у класичний розподіл Максвела-Больцмана

Розподіл Фермі-Дірака при різних температурах

Стати́стика Бозе—Ейнштейна — розподіл за енергією часток, які належать до бозонів.

За розподілом Бозе-Ейнштейна ймовірність того, що в квантовомеханічній багаточастинковій системі існує бозон у одночастинковому квантовому стані  ^[1] із енергією   визначається формулою

,

де   — хімічний потенціал,   — стала Больцмана, T — температура.

Оскільки ймовірність повинна бути додатним числом, значення хімічного потенціалу завжди менше за енергію основного станубозонів.

Якщо кількість бозонів строго визначена (N), то хімічний потенціал визначається із умови нормування розподілу.

Фізична природа

Квантові частки бозони відрізняються від частинок класичної фізики тим, що їх принципово неможливо розрізнити (дивіться принцип нерозрізнюваності часток). Крім того,хвильова функція бозонів завжди симетрична відносно перестановок частинок. Це призводить до зміни кількості можливих станів. Наприклад, розглянемо систему, у якій можливі два одночастинкові стани   і  . Для двох таких частинок у класичній фізиці існує 4 можливі стани:

,  ,  , 

У квантовій фізиці можливі лише три стани:

,  , 

Таким чином, у найпростішому випадку, за однакової енергії станів, ймовірність реалізації конкретного стану у класичній фізиці дорівнює 1/4, а у квантовій фізиці — 1/3.

При розгляді великого числа частинок і одночастинкових станів для цих частинок, для ймовірності заповнення стану отримують наведену вище формулу розподілу Бозе-Ейнштейна. Доведення можна знайти у підручниках із статистичної фізики, наведених у джерелах.

Наслідки

Одним із наслідків квантової статистики Бозе-Ейнштейна є можливість існування у тривимірних системах за низьких теператур особливої фази речовини, що складається з бозонів — Бозе-конденсату.

Статистиці Бозе-Ейнштейна підкоряється електромагнітне випромінювання, яке перебуває у тепловій рівновазі з тілом. Тому її застосування пояснює спектр випромінювання абсолютно чорного тіла.

Застосування статистики Бозе-Ейнштейна дозволило пояснити температурну залежність теплоємності твердого тіла за низьких температур (див. температура Дебая, закон Дебая).

Статистика Максвелла — Больцмана — статистичний метод опису фізичних систем, що містять велику кількість невзаємодіючих частинок, що рухаються за законами класичної механіки (тобто класичного ідеального газу); запропонована в 1871 р. австрійським фізиком Л. Больцманом.

Вивід розподілу

Із загального розподілу Ґіббса. Розглянемо систему частинок, що знаходиться в однорідному полі. В такому полі кожна молекула ідеального газу має повну енергією

, де

 — кінетична енергія її поступального руху, а   — потенційна енергія в зовнішньому полі, яка залежить від її положення.

Підставимо цей вираз для енергії у розподіл Ґіббса для молекули ідеального газу   (де   — ймовірність того, що частка перебуває в стані зі значеннями координат   і імпульсів  , в інтервалі  )

маємо:

,

де статистичний інтеграл рівний:

інтегрування ведеться по всіх можливих значень змінних. Далі статистичний інтеграл можна написати у вигляді:

,

ми знаходимо, що нормоване на одиницю розподіл Ґіббса для молекули газу при наявності зовнішнього поля має вигляд:

.

Отриманий розподіл ймовірностей, що характеризує ймовірність того, що молекула має даний імпульс і знаходиться в даному елементі об'єму, носить назву розподіл Максвелла - Больцмана.

Деякі властивості

При розгляді розподілу Максвелла - Больцмана, кидається в очі важлива властивість - його можна представити як добуток двох множників:

.

Перший множник є не що інше, як розподіл Максвелла, воно характеризує розподіл ймовірностей по імпульсах. Другий множник залежить лише від координат частинок і визначається видом її потенційної енергії. Він характеризує ймовірність виявлення частки в обсязі dV.

Згідно з теорією ймовірностей, розподіл Максвелла - Больцмана можна розглядати як добуток ймовірностей двох незалежних подій - ймовірність даного значення імпульсу та даного положення молекули. Перша з них:

представляє розподіл Максвелла, друга ймовірність:

— розподіл Больцмана. Очевидно, що кожне з них нормовано на одиницю.

Розподіл Больцмана є окремим випадком канонічного розподілу Ґіббса для ідеального газу в зовнішньому потенціальному полі, так як за відсутності взаємодії між частками розподіл Гіббса розпадається на твір розподілів Больцмана для окремих частинок.

Незалежність ймовірностей дає важливий результат: ймовірність даного значення імпульсу абсолютно не залежить від положення молекули і, навпаки, ймовірність положення молекули не залежить від її імпульсу. Це означає що розподіл часток по імпульсах (швидкостям) не залежить від поля, іншими словами залишається тим же самим від точки до точки простору, в якому укладений газ. Змінюється лише вірогідність виявлення частки або, що те ж саме, число частинок.