Тема 37. Поняття про зонну теорію твердих тіл.

Поняття про зонну теорію твердих тіл (2 год.)

Мета: Розглянути зонну теорію металів та напівпровідників. Ввести поняття зони Брілюена.

План

1. Метали в зонній теорії

2. Діелектрики в зонній теорії

3. Напівпровідники в зонній теорії.

Література: [1], [5], [7], [12] – основна; [1], [6] – додаткова.

Зо́нна теорія кристалів — розділ фізики конденсованих середовищ, зокрема фізики твердого тіла, в якому фізичні властивості твердих тіл пояснюються на основі одноелектронного наближення.

Основні положення

У зонній теорії розглядаються ідеальні кристали із трансляційною симетрією. Вона спирається натеорему Блоха, яка визначає загальний вид одноелектронних хвильових функцій, визначаючи для них квантове число, яке називається квазі-імпульсом. Квазі-імпульси приводяться до так званої першої зони Брілюена.

Рівні одноелектронних станів розбиваються на неперервні смуги, які називаються дозволеними зонами.

Між дозволеними зонами існують заборонені зони. Усі одноелектронні стани характеризуються трьома квантовими числами: квазі-імпульсом, номером зони й спіном.

Найважливішими для визначення фізичних властивостей кристалу зонами є валентна зона і зона провідності.

Основний стан усього тіла будується, послідовно заповнюючи електронами всі одноелектронні стани, починаючи з найнижчого. Найвищий заповнений стан визначає положення рівня Фермі. Усі одноелектронні рівні з енергією нижчою за рівень Фермі в основному стані заповнені, а всі одноелектронні рівні з енергією вищою за рівень Фермі незаповнені.

У випадку напівпровідників і діелектриків рівень Фермі збігається з верхом валентної зони, тобто валентна зона повністю заповнена. Наступна за нею зона називається зоною провідності, оскільки провідності кристалів визначається електронами, які потрапляють у зону провідності при збудженні кристалу (термічному, оптичному чи за допомогою електронної інжекції).

У випадку металів, валентна зона заповнена наполовину, а тому є водночас і зоною провідності.

Спрощена схема зонних струтур провідників, напівпровідників тадіелектриків

Типова зонна структура напівпровідника

Зонна структура арсеніду галію

Перша зона Брілюена для ГЦК структури

На рисунку ліворуч схематично зображені валентна зона та зона провідності для кристалу арсеніду галію - популярного матеріалу в електроніці. Арсенід галію має кубічну гранецентровану ґратку. Перша зона Брілюена для цієї ґратки Браве зображена нижче.

В правій частині графіку (від точки Γ до точки X) показана залежність енергетичних рівнів від хвильового вектора в напрямку <100> (дивіться індекси Міллера). В лівій частині показана залежність в іншому напрямку <111>. Це загальна практика для зображення зонних структур.

Арсенід галію є прямозонним напівпровідником. Дно зони провідності та верх валентної зони в ньому розташовані в одній точці зони Брілюена (Γ точці). Валентна зона відокремлена від зони провідності проміжком енергій, у якому немає енергетичних рівнів - забороненою зоною.

Окрім найглибшого мінімуму в центрі зони Брілюена, зона провідності арсеніду галію має ще кілька мінімумів, що є важливими для розуміння провідності цього матеріалу. Ці мінімуми називаютьсязонними долинами. В напрямку <111> (точка L) існують долини з енергією, яка перевищує енергію дна зони провідності на 0.29 еВ. Таких долин вісім, у чому можна переконатися, порахувавши кількість L точок в першій зоні Брілюена на нижньому рисунку. Крім того в напрямку <100> існує ще 6 долин, мінімуми яких розташовані не на краях зони Брілюена, а всередині на лінії Δ.

Нахил зони провідності та валентної зони в точці Γ різний. Цим визначається різниця ефективних маселектронів провідності та дірок. Значний нахил зони провідності означає, що електрон в арсеніді галію є дуже легкою частинкою.

Визначення фізичних характеристик твердотілих матеріалів

Зонна теорія успішно пояснює більшість електронних властивостей твердих тіл.

В залежності від заповненості валентної зони в основному стані кристали діляться на метали і діелектрики, підкласом яких є напівпровідники.

Провідність, теплопровідність та термоелектричні властивості матеріалів пояснюються за допомогою розсіяння електронів на дефектах і коливаннях кристалічної ґратки.

Оптичні властивості матеріалів пояснюються за допомогою переходів між одноелектронними станами різних зон.

Значення 

Зонна теорія важлива для розуміння принципу дії різноманітних електронних пристроїв.

Рівень Фермі — це значення енергії найвищого заповненого рівня електронів твердотільної системи в основному стані.

При нульовій температурі положення рівня Фермі збігається із значенням хімічного потенціалусистеми електронів у твердому тілі. При відмінній від нуля температурі значення хімічного потенціалу відмінне від положення рівня Фермі, але все ж більшість фізиків продовжує називати його (не зовсім строго) рівнем Фермі.

Електрони в твердому тілі є ферміонами, тобто такими квазічастинками, що не можуть мати одинакові значення квантових чисел у одноелектронному наближенні. Тому для побудови основного стану твердого тіла, для якого відомі одноелектронні стани, можна вдатися до наступної процедури. Спочатку виберемо рівень із найнижчою енергією й помістимо на нього два електрони із протилежними спінами, потім заповнимо наступний рівень із дещо більшою енергією, і чинитимемо так доти, доки не використаємо всі електрони твердого тіла. Найвищий заповнений рівень і буде рівнем Фермі для даної твердотільної системи.

У напівпровідниках і діелектриках рівень Фермі збігається із верхом повністю заповненої валентної зони. В металах валентна зона заповнюється не повністю, тож рівень Фермі розташовується посередині валентної зони.

Рівень хімічного потенціалу електронної підсистеми при скінченних температурах в напівпровідниках, як правило, розташовується всередині забороненої зони. Фізики часто не зовсім строго називають цей рівень рівнем Фермі.