Обертальний рух:

 

І. Лінійна швидкість матеріальної точки, що виконує

обертальний рух

 

Відомо, що довжина дуги пов’язана з величиною радіуса і кутом його повороту співвідношенням:

 

,

 

тоді

.

 

Отже

 

.  

                                                         

У векторній формі

 

 

.

 

 

Напрям  вектора   відносно векторів   і   показано на рисунку 5.

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5

 

Нормальне прискорення матеріальної точки, що виконує

обертальний рух  визначимо таким чином:

 

.

 

Отже, в скалярному вигляді

 

.

 

Вектор   протилежний до  , тому у векторному представленні

 

.

 Тангенціальне прискореня матеріальної точки, що

виконує обертальний рух:

 

.

 

Отже в скалярному представленні:

 

.

 

Для визначення напрямку вектора   (за правилом правого гвинта) по відношенню до векторів   і  використовують векторний запис:

 

 

.

 

Повне прискорення матеріальної точки, що виконує

обертальний рух

 

Відповідно до формул для   і  , враховуючи напрями векторів даних величин, а також використавши співвідношення Піфагора для співвідношення сторін у прямокутному трикутнику, для повного прискорення одержимо вираз:

 

.

 

Отже

.

 

Подібність кінематичних формул для поступального і

обертального руху

 

                                                            Таблиця 1

Рівномірний рух
поступальний	Обертальний
; ; .	; ; .
Рівноприскорений рух
поступальний	Обертальний
.	.

 

 Момент імпульсу матеріальної точки:

 

  Векторний добуток радіус-вектора траєкторії матеріальної точки масою   на її імпульс називається моментом імпульсу цієї точки відносно осі обертання:

 

.

 

Напрям вектора   (за правилом правого гвинта) показано на рис. 6.

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

Момент імпульсу матеріальної точки ( ) направлений перпендикулярно до площини, проведеної через   і   і утворює з ними праву трійку векторів. (Тобто при русі від кінця вектора   до   правий гвинт покаже напрям вектора  ).

 

У скалярній формі

 

.

 

Враховуючи, що при русі по колу радіус – вектор і вектор лінійної швидкості для і-тої матеріальної точки взаємно перпендикулярні:

 

=1.

 

Отже для обертального руху момент імпульсу матеріальної точки набере вигляду:

 

.

Момент сили, що діє на і-ту матеріальну точку:

 

  Векторний добуток радіус-вектора  , проведеного в точку прикладання сили  , на цю силу називається моментом сили   , що діє на і-ту матеріальну точку відносно осі обертання:

 

.

 

Векторне представлення моменту сили  подано на рисунку 7.

 

В скалярній формі

.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7

 

 

Вважаючи, що

,

 

.

 

Величина  , що рівна довжині перпендикуляра, опущеного з точки обертання на напрям дії сили називається плечем сили  .