Тема 16. Складання коливань Складання коливань (2 год)

Мета: Навчитись додавати коливання.

1. Додавання коливань в одному напрямку.

2. Додавання взаємно перпендикулярних коливань .

Додавання гармонічних коливань однакового напрямку  і однакової частоти. Биття

Перш ніж розглядати додавання коливальних рухів, спинимось на способі подачі коливань за допомогою обертального вектора амплітуди.

Для цього із довільної точки О, яка вибрана на осі  , під кутом  , що дорівнює початковій фазі коливань, відкладемо вектор  , модуль якого дорівнює амплітуді  коливання (рис. 18). Проекція вектора   на вісь   дорівнює зміщенню   у момент початку відліку часу  :

.

Рис. 18.

Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі  , яка перпендикулярна до площини рисунка, з кутовою швидкістю  . За проміжок часу   вектор амплітуди повертається на кут  . Проекція вектора   в цьому положенні на вісь ОХ дорівнює:

.

За час Т, що дорівнює періоду коливань, вектор амплітуди повертається на кут  , а проекція його кінця зробить одне повторне коливання навколо положення рівноваги  , отже, обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання.

Нехай точка бере участь у двох гармонічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої:

Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди (рис. 19). Оскільки вектори   і   обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз   між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати вектором амплітуди  , що дорівнює сумі векторів   і  :

і який обертається навколо точки   з тією самою кутовою швидкістю  , що й вектори   і  . Результуюче коливання описуються рівнянням

,

де   – амплітуда результуючого коливання, а   – його початкова фаза.

З рис. 19 видно, що

Амплітуда   результуючого коливання залежить від різниці початкових фаз   коливань, що додаються. Можливі значення   лежать у межах

.

Рис. 19.

Розглянемо кілька окремих випадків.

1.    .

Тоді   і  .

2.    .

Тоді   і  .

Якщо частоти коливань   і   неоднакові, то вектори   і   будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор   пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес.

Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою.

Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються биттям.

Нехай амплітуди коливань

,  , а частоти дорівнюють  ,   і  << :

Тоді рівняння коливань матимуть вигляд.

,  .

Додаючи ці вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми косинусів, отримуємо:

.

Отриманий вираз є добуток двох коливань. Оскільки  << , то множник   майже не зміниться, коли множник   здійснює кілька повних коливань. Тому результуюче коливання   можна розглядати як гармонічне з частотою   й амплітудою

.

Частота зміни   вдвічі більша від частоти зміни косинуса (оскільки береться за модулем). Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що додаються, тобто  . Період биття  .

Рис. 20.

Суцільні лінії на рис. 20 дають графік результуючого коливання у випадку  , і графік амплітуди 

	Дослідження додавання взаємно перпендикулярних коливань Дослідження додавання взаємно перпендикулярних коливань Мета роботи. Дослідити додавання двох взаємно перпендикулярних коливань з різними амплітудами та початковими фазами. Навчитись керувати роботою звукових генераторів та включати їх в електричне коло. Прилади і матеріали. Два звукових генератори (типу ГЗ-33, ГЗ-35), осцилограф, комп’ютер (рис. 1). Рис. 1. Загальний вигляд лабораторної установки Завдання 1.Дослідити додавання взаємо перпендикулярних коливань з однаковими частотами за допомогою комп’ютерної моделі Electronics Workbench, електричного кола та комп’ютерної моделі у програмі “еФізика”. 2.Дослідити додавання взаємо перпендикулярних коливань з різними за величиною частотами за допомогою комп’ютерної моделі Electronics Workbench, електричного кола та комп’ютерної моделі у програмі “еФізика”. Опис лабораторних установок Додавання взаємно перпендикулярних коливань можна дослідити за допомогою комп’ютерної моделі у програмі Electronics Workbench. Інтерфейс програми дозволяє складати електричне коло з генераторів, змінювати їх параметри  і подавати сигнали на двоканальний осцилограф. Установка складається з двох звукових генераторів та електронного осцилографа (рис. 2). Рис. 2. Схема установки для дослідження додавання взаємно перпендикулярних коливань На вхід “Х” блока горизонтально відхиляючих (вертикально розташованих) пластин осцилографа подають від одного генератора синусоїдну напругу відомої частоти fх. Від другого генератора на вхід “Y” блока вертикально відхиляючих  пластин подають синусоїдну напругу невідомої частоти   fу . Залежно від співвідношення цих частот і зсуву фаз обох складових коливань на екрані осцилографа утворюється та чи інша фігура Ліссажу. Як доповнення до експериментальної частини лабораторної роботи “Дослідження додавання взаємно перпендикулярних коливань” використовується комп’ютерна програма, що моделює цей процес. Інтерфейс програми (рис 3) дає змогу моделювати утворення фігур Ліссажу та чітко простежити, як змінюється її вигляд від того, в якій фазі знаходяться два коливання в даній точці, що є  важливим для глибокого розуміння явища. Крім того, дана модель дозволяє широко змінювати  частоту коливань та виставляти різницю фаз коливань, що є неможливим під час роботи з реальними приладами. Програма дає можливість не тільки проводити віртуальний експеримент, а й розв’язувати кількісні та якісні задачі з даної теми. Рис. 3. Інтерфейс програми Дослідження додавання взаємно перпендикулярних коливань”. Співвідношення 1:1