18.2. 2. Закон Cтефана-Больцмана.
Енергетична світність абсолютно чорного тіла R* пропорційна четвертій степені його температури
, (3)
де 
стала Стефана-Больцмана.
Цей закон експериментально установив
в 1879 році Й.Стефан, а теоретичне
обґрунтування у 1884 році дав Л.Больцман.
18.2. 3. Закон випромінювання Віна.
Наближений закон теплового випромінювання в залежності від температури установив німецький фізик Він. За Віном випромінювальна здатність тіла пропорційна кубу частоти
, (4)
де 
деяка
функція від частоти й температури. Такий
вид приймає граничний вираз формули
М.Планка (2) при великих частотах
.
18.2. 4. Закон зміщення Віна.
Він
довів, що положення максимуму 
універсальної
функції Кірхгофа 
задовольняє
співвідношенню
T = b, (5)
де
Т температура
тіла, 
стала
Віна. Це означає, що при підвищенні
температури тіла максимум його теплового
випромінювання зміщується в бік менших
довжин хвилі (величина
зменшується)
і навпаки.
18.2. 5. Формула Релея - Джінса
З
точки зору класичної фізики, випромінювання
АЧТ можна представити як реалізацію
сукупності просторових стоячих
електромагнітних хвиль в обмеженому
об’ємі з відповідними частотами. Останні
визначаються граничними умовами.
Число 
таких
стоячих хвиль на частоті 
в
одиничному об’ємі при двох можливих
поляризаціях дорівнює
. (6)
Вважаючи,
що на кожну коливальну ступінь свободи
приходиться енергія кТ,
енергію в інтервалі частот від 
можна
записати у вигляді
, (7)
Тепер випромінювальну здатність АЧТ можна одержати у вигляді
.
або
. (8)
Вираз
(8) є формулою Релея-Джінса.
В області великих частот (малих
довжин хвиль 
)
енергетична світність за (8) прямує до
нескінченності, що різко розходиться
з експериментом (див.
).
Цю розбіжність у класичній фізиці
названо ультрафіолетовою
катастрофою.
В області малих частот
формула Релєя-Джінса збігається
з граничним виразом для формули
М.Планка при 
.
Крім того, із теорії М.Планка випливає,
що на одну коливальну ступінь свободи
приходиться енергія
, (9)
яка залежить від частоти , замість енергії kT за класичною теорією, якою користувалися при виведенні формули (8).
18.2. 6. Гіпотеза та формула Планка
В
1900 році М.Планк висунув
гіпотезу, що енергія електромагнітного
поля є дискретною і складається з порцій
(квантів) енергії 
.
Пізніше було встановлено, що
, (10)
де стала
,
називається перекресленою або просто сталою Планка, або сталою Дірака, який її увів уперше. Повна енергія випромінювання на частоті кратна (10) і дорівнює
. (11)
З цієї точки зору Планк розглянув випромінювальну здатність абсолютно чорного тіла за наступною схемою.
За
розподілом Больцмана ймовірність
P(
,T)
того, що енергія на частоті
має
n квантів =ћ можна
записати так
, (12)
де
, (13)
а середнє значення енергії <> на цій частоті можна представити так
. (14)
Уведемо
змінну 
і
припустимо, що х може змінюватися неперервно.
Тоді
. (15)
Під
знаком логарифма знаходиться сума S
спадної геометричної прогресії з першим
членом а=1 і знаменником 
.
Її значення
. (16)
Тепер
. (17)
Підставивши в (17) значення змінної х, одержимо
. (18)
Густина
енергії, що приходиться на інтервал
частот від 
дорівнює
. (19)
За (17) знайдемо
. (20)
Зважаючи на те, що
,
можна записати
.
Використовуючи одержаний зв'язок, випромінювальну здатність АЧТ можна записати через довжину хвилі у виді
. (20)
Одержаний
вираз для 
називається
формулою Планка. Властивості f(,T)
у залежності від температури та частоти
можна дослідити з наведеного нижче
графіка на Мал.179 для деякої модельної
функції
.. (21)
Формула
Планка точно узгоджується з експериментом
у всьому діапазоні
частот
.
З графіка видно, що при збільшенні
температури тіла максимум зміщується
в напрямку зростання частоти
(х~
).
Це відповідає закону Віна. При
умові 
маємо 
і
формула Планка (20) переходить у
формулу Релея-Джінса (8).