Коливальний рух. Математичний та пружинний маятники

Коливаннями називають фізичні процеси, які точно чи майже точно повторюються через однакові проміжки часу. Коливання буваютьмеханічними та електромагнітними. З коливаннями ми зустрічаємося не тільки в техніці, а й у природі та житті людини. Наприклад, коливається поршень двигуна, листя дерев, струни музичних інструментів, б’ється серце. Головною особливістю коливального руху є його періодичність.

Існує два види коливального руху: вільні і вимушені коливання.

Вільні коливання — це коливання, які відбуваються в механічній системі під дією внутрішніх сил системи після короткочасної дії зовнішніх сил.

Система тіл, які можуть виконувати вільні коливання, називаєтьсяколивальною системою.

Вимушені коливання — коливання, що виникають під дією зовнішніх сил, які змінюються з часом за модулем та напрямом.

Вільні коливання не можуть існувати вічно, поступово їх амплітуда зменшується, коливання затухають. Коливання, амплітуда яких з часом зменшується, називаються затухаючими.

Характеристики коливального руху:

• Амплітуда — модуль найбільшого відхилення тіла від положення рівноваги. Позначається літерою А та вимірюється в метрах.

• Період — мінімальний проміжок часу, за який відбувається одне коливання. Період позначається літерою Т та вимірюється в секундах.

• Частота — число коливань за одиницю часу. Позначається літерою ν та вимірюється в герцах. Частота обернено пропорційна періоду, тому для того щоб знайти частоту, необхідно одиницю поділити на період.

Цікавим і важливим прикладом коливального руху є рух маятника. Маятник називається математичним, якщо він є точковим тілом, підвішеним до нерозтяжної й невагомої нитки. Тіло, підвішене на пружину, так само буде коливатися. Такий маятник називаютьпружинним. Період коливання математичного маятника не залежить ні від маси тіла, ні від амплітуди коливань. Період пружинного маятника так само не залежить від амплітуди коливань.

Математичний і пружинний маятники є коливальними системами, які за певних умов здійснюють гармонічні механічні коливання.

Математичним маятником називають матеріальну точку, підвішену на невагомій і нерозтяжній нитці. Це ідеальна коливальна система. Якщо подібний маятник не можна вважати матеріальною точкою або не можна знехтувати вагою тіла і розтягом підвісу, то маятник називаютьфізичним. Такий маятник коливається подібно до математичного.

Підвісимо матеріальну точку масою m на нитці довжиною l і відхилимо отриманий маятник на кут a від положення рівноваги (рис.5.1.3).

На тіло діятимуть (якщо знехтувати силами тертя і опору повітря) сила тяжіння   і сила натягу нитки  , рівнодійна яких   і буде надавати матеріальній точці прискорення. Це прискорення буде напрямлене в бік положення рівноваги. Модуль рівнодійної цих сил (вертикальної сили) знаходимо із прямокутного трикутника FOA:

F = mgsina.

У разі малих кутів відхилення sina   a = x/l. Ураховуючи, що напрям зміщення і вертальної сили протилежні, отримаємо  , де х - абсолютне значення зміщення маятника від положення рівноваги. Оскільки за другим законом Ньютона F = ma, то прискорення маятника  , де  . Період коливань математичного маятника

.                      (5.1.3)

Згідно з формулою (5.1.3) можна зробити висновок, що період коливань математичного маятника не залежить від маси тіла, а визначається лише довжиною підвісу і прискоренням вільного падіння.

Ще одним прикладом гармонічного коливання є коливання тіла на пружині (рис.5.1.4). У стані рівноваги (рис.5.1.4, положення х = 0) пружина поки що не деформована, тому на тіло сила пружності не діє. Сила тертя між тілом і опорою дорівнює нулю. Сила тяжіння зрівноважена силою реакції опори. Якщо вивести тіло зі стану рівноваги, перемістивши його вздовж осі Ох на відстань x = ± A (ліворуч або праворуч), а потім відпустити, то маятник буде вільно коливатися під дією сили пружності за законом x = Asinwt. Згідно із законом Гука (F_пр)_x = – kx. За другим законом Ньютона (F_пр)_x = ma, де m - маса тіла пружинного маятника; а - його прискорення, або  , де  .

Період коливань пружинного маятника

.                      (5.1.4)

Як видно з формули (5.1.4) період і частота коливань пружинного маятника не залежать від прискорення вільного падіння, а визначаються лише масою підвішеного тіла і жорсткістю пружини.

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, ємності та індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

Послідовний RLC-коливальний контур: v - джерело напруги i - сила струму через контур R - резистор в L - індуктивність C - ємність

Коливальний контур без джерела напруги

Коливальний контур, що складається із послідовно з'єднаних індуктивності  , ємності   та активного резистора   називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір   включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв'язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називаю LC-контуром.

В ланку коливального контура можна добавити перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від'ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в нійелектрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від'ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньму напрямку - конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримуе заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль, тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульвого опору - вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контура. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називаєть квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контура записується для невідомої динамічної змінної - електричного заряду   і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків - спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

,

Розв'язок цього рівняння має вигляд:

де   - резонансна частота контура,   - амплітуда коливань,   - фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

.

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

.

Різниця потенціалів   на обкладинках конденсатора пропорційна заряду  :

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

.

Якщо в початковий момент часу   заряд на обкладках конденсатора дорівнював  , а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань   та їхня амплітуда дорівнюють:

.

Незатухаючі коливання

Якщо опір контура зменшувати до нуля  , тоді в   контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

.

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

Період вільних незатухаючих коливань дорівнює

 (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм   в контурі можна переписати у вигляді:

. (13)

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на  . Амплітуда   сили струму, та амплітуда   різниці потенціалів дорівнюють:

 (14b)

тому

,

де величину   називають хвилевим опором контура.

Закон збереження енергії

Повна енергія контура складається із суми двох енергій: енергії заряду  , накопиченого на ємності,   та магнітної енергії на індуктивності  :

.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контутру

.

Коливальні контури із джерелом напруги

Послідовний контур

Послідовний контур - це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.