4. Залежність положення рівня Фермі від концентрації домішок та температури в напівпровідниках.

П∕п может содержать как донорную, так и акцеп­торную примеси. Пусть конц-ции этих примесей соответст­венно равны N_d и N_a. Энергетическая схема такого п∕п представл. на рис.1.

Рис.1. П/п, имеющий примеси донорного и акцепторного типа.

Для определения положения ур. Ферми в п/п используется условие электронейтральности, по которому в любой точке кристалла суммарный заряд всех заряженных частиц должен быть равен нулю. Для п/п с двумя видами примеси ур-ние электронейтральности запишется в виде:

no + na = po + pd, (1)

где nd = Na – pa – кол-во электронов, связанных с акцепторной примесью;

pd = Nd – nd – число ионизированных атомов донорной примеси. С учетом этого ур-е (1) запишем: (no + nd) – (po + pa) = Nd – Na (2)

(3). Для невырожденного п/п равенство (3) упрощается:

(4)

Донорный п/п.(Na=0) Ограничимся вначале областью тем-тур, при кот. имеет место лишь, ионизация примесных центров, а собственная проводи­мость отсутствует, т. е. р₀ = 0. Условие электронейтральности (2) запишется так:

no+nd=Nd, (5) или no=pd, откуда запишем:

(6)

Считаем, что вырождение отсутствует, следоват., no= Из этого равенства найдем, что (7). Подставив (7) в (6), получим ур-е для конц-ции электронов в З.П.: (8), кот. Преобразуется к виду:

(9).

Решая это квадратное ур-е получим:

(10)

Это соотнош. можно свести к след. выраж:

(11).

Положение ур. Ферми определяется из соотнош. (7):

(12)

Прологарифмировав равенство (12), получим:

или

Это ф-ла (13). В обл. низких тем-р, где справедливо условие ф-ла (13) упрощается и положение ур. Ферми будет:

Это выраж. (14), из него следует: в однородном п/п при тем-ре абсол. нуля ур. Ферми располагается посредине между дном З.П. и уровнем донорной примеси. В обл. достаточно низких тем-р, когда gNc<Nd, ур. Ферми вначале повышается до некотор. max знач., а затем начинает снижаться и при gNc=Nd снова имеем F=½(Ec+Ed), как и для случая Т=0. Дальнейшее повышение тем-ры сопровождается ростом Nc и в обл. тем-ры, когда gNc>Nd, ур. Ферми продолжает снижаться. Обл. изменения ур. Ферми с тем-рой, кот описывается ф-лой (14), является обл. слабой ионизации примеси (обл. вымораживания). Это цифра 1 на рис.2.

Рассмотрим случай, когда тем-ра достаточно высока и выполняется неравенство:

При этом ф-ла (13) аппроксимируется выражением

(15), кот соответствует: no=Nd (16). Эта обл. тем-ры, при кот. Имеет место полная ионизация примеси, назыв. обл. истощения примеси (обл. насыщения), на рис.2. цифра 2.

Рис.2. Изменение положения ур. Ферми (а) и конц-ции электронов (б) с тем-рой для донорного п/п.

Условие, когда no=Nd, соответствует полож. ур. Ферми на несколько kT ниже уровня примеси Еd. Это значит, что при повышении тем-ры ур. Ферми, понижаясь, пересекает уровень Еd и уходит вниз. Тем-ра при кот. F= Еd, назыв. тем-ра насыщения Тs, ее определяют из условия:

(17)

(18)

На рис.2. обл. 3 соответствует обл. собственной проводимости. В этом случае F=Fi

Тi – тем-ра при кот. наступает собственная проводимость у донорного п/п.

Акцепторный п/п (Nd=0). Решение задачи для п/п, легированного акцептор­ной примесью, полностью аналогично случаю донорного п/п. Условие электронейтральности имеет вид: po=na=Na-pa (1). Получим соотнош. для

(2)

После алгебраич. вычислений находим:

(3)

Положение ур. Ферми буде определяться

После логарифмирования получим выраж. для ур. Ферми:

Это ф-ла (4). В обл. низких тем-р, когда выполняетсяу словие , имеем:

(5)

Т.о., в дырочном п/п при тем-ре абсол. нуля ур. Ферми лежит посередине между потолком В.З. и уровнем акцепторной примеси, т.е. F=½(Ev+Ea). С увеличением тем-ры ур. Ферми вначале опускается, когда Na>gNv, а затем поднимается до уровня Еа.

При высоких тем-х, когда ,из выраж. (4) получаем:

(8).

В акцепторном п/п, как и в случае донорной примеси, при высоких тем-х наступает обл. истощения, хар-щаяся полной ионизацией атомов акцепторной примеси. С дальнейшим ростом тем-ры ур. Ферми поднимается к середине запрещен. зоны и п/п ведет себя как собственный.