33.Переходные процессы в rlc цепях
ВКЛЮЧЕНИЕ В ЦЕПЬ RLС ПОСТОЯННОЙ Э. Д. С.
Ввиду наличия индуктивности начальное значение тока
для начального момента
откуда
При установившемся режиме ток будет равен нулю
Продифференцировав с учетом того, что Iпр = 0, получим:
Из этих уравнений следует:
(1)
ТРИ РЕЖИМА РАБОТЫ.
Случай 1. r>(L/C)0.5 —-(апериодический процесс).
Корни уравнения р1, р2 - отрицательные действительные числа.
При больших значениях С влияние емкости мало и кривая тока приближается к кривой тока в цепи г, L,
при малых значениях L влияние индуктивности незначительно, и кривая тока близка к кривой тока в цепи r, С.
Следует заметить, что при коротком замыкании цепи r, L, С, т. е. при E = 0, ток в цепи обусловливается разрядом емкости.
Случай 2. r>(L/C)0.5 (критический случай)
Корни характеристического уравнения одинаковы p1= p2 = -- r/2L = δ
Выражение (1) приводит в этом случае к неопределенности вида 0/0.
В рассматриваемом случае iCB(0)=B1 = 0 и
Следовательно,
Случай 3. r<(L/C)0.5 (колебательный процесс).
Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные:
Ток в цепи согласно
Полученное выражение показывает, что при включении цепи r, L, С на постоянное напряжение в цепи возникают затухающие гармонические колебания. Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного и обратно; причем колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении.
При t= 1/δ ордината огибающей в е = 2,718 раза меньше начального значения огибающей. Поэтому величину l/ δ = 2L/r называют постоянной времени колебательного контура.
34.Операторный метод анализа переходных процессов.
Идея этого метода заключается в том, что из области функций действительного переменного решение переносится в область функций комплексного переменного p = c+jw, где операции принимают более простой вид, затем полученный решением алгебраических уравнений результат «интерпретируется», т. е. производится обратный переход в область функций действительного переменного.
Пусть f(t)—функция действительного переменного t, заданная в области t>0 и равная нулю при t<0, возрастает не быстрее показательной функции, т. е. |f(t)|<Мec0t при t>0; здесь М и с0 — постоянные (положительные и действительные) ; t — переменное (время). Постоянная с0 называется показателем роста функции f(t). Говорят, что функция имеет ограниченный рост, если показатель роста конечен.
Из курса математического анализа известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл
сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного р = с + jw в полуплоскости Re p = c>c0.
Интегральное уравнение такого вида представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f (t) называется оригиналом, а функция F(p) — изображением по Лапласу. Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару функций действительного переменного t и комплексного переменного р, связанных преобразованием Лапласа.
Другая условная форма записи прямого преобразования Лапласа, а именно:
ЗАКОНЫ ОМА И КИРГОФА В ОПЕРАТОРНОЙ ФОРМЕ
Для схемы с источником э. д. с.
По второму закону Кирхгофа для t> 0 имеем:
Будем рассматривать e(t), Uc(0) и i(t) как функции-оригиналы, имеющие изображения Е(р), Uс(0)/р и I(р).
На основании свойств линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования исходному уравнению (14-24) соответствует следующее уравнение для изображений:
второй закона Киргоффа в операторной форме
(1)
Для схемы с источником тока уравнение записывается по первому закону Кирхгофа (при t> >0, т. е. после подключения сопротивления r):
Полагая i(t)=I(p) и u(t)=U(p), находим:
После преобразований получается изображение искомого напряжения
(2)
первый закона Киргоффа в операторной форме
При нулевых начальных условиях, т. е. при включении источников в пассивные цепи, выражения (1) и (2) упрощаются, а именно:
здесь Z(p) и Y(p) представляют собой сопротивление и проводимость соответствующих цепей при комплексной частоте р=с+jw. Они называются обобщенными или операторными сопротивлением и проводимостью.