3. Статистика електронів та дірок в напівпровідниках. Густина квантових станів. Функція розподілу Фермі – Дірака для електронів та дірок.

Для опреде­ления числа частиц, необходимо знать число квантовых со­стояний и вероятность нахождения частиц в этих состояниях. Следовательно, для определения концентрации носителей заряда в п∕п необходимо знать фактическое число состояний, за­нятых электронами и дырками.

Пусть в кристалле единичного объема в интервале энергий от Е до Е + dE имеется dZ квантовых состояний (с учетом спина). Обо­значим через N (Е) плотность состояний, т. е. число состояний в единичном интервале энергии для единичного объема кристалла. Тогда согласно определению: N(E)=dZ∕dE (1).

Если вероятность заполнения состояний с энергией Е равна f (Е, Т), то число электронов dn, находящихся в состояниях dZ, составит величину

dn= f(E,T)dZ= f(E, T)N(E)dE (2)

Найдем выражение для плотности квантовых состояний в слу­чае, когда поверхности равной энергии З.П. и В.З. являются сферами. Определим плотность состояний у нижнего края З.П. Энергия элек­тронов у дна зоны может быть записана в виде

(3)

где Е_с = Е (р₀) - энергия электрона у дна

З.П; mn*- эффективная масса электрона.

Рис.1. Объем слоя в зоне Бриллюэна.

Выделим шаровой слой, заключенный между двумя изоэнергетическими поверх­ностями, соответствующими энергии Е(р) = const и Е(р) + dE = const (рис. 1). Объем этого слоя составляет величину: dVp=4πp²dp (4)

В каждой ячейке могут находиться два електрона с противоположно направленными спинами. С учетом этого число состояний в объеме dVp равно:

(5)

Исходя из равенства (3)

(6)

Откуда

(7)

Подставив (5), (6), (7) в соотнош. (1):

(8)

Определим плотность состояний вблизи верхнего края В. З. Для энергии дырок:

(9)

Здесь Еv = Е(р₀)-энергия дырки у потолка В.З.; mp*- эффективная масса дырки. Из расчетов, аналогичных про­деланным выше, будем иметь:

(10)

Т.е., если энергия носителей заряда является квадратичной функцией квазиимпульса, то плотность состояний N(Е) имеет зависимость от энергии вида (Е— Ес)^1/2 или (Еv — Е) ^1/2. Следовательно, выраж. (8) и (10) справедливы только для со­стояний вблизи экстремума энергии, т. е.у дна и потолка зоны.

Подсчитаем теперь плотность квантовых состояний для случая сложной зоны проводимости. Поскольку pox=poy=poz=0,a E(po)=Ec, то

(11)

где- 1∕m1,1∕m2, 1∕m3 –диагональные компоненты тензора обратной эффективной массы. Изоэнергетические поверхности в этом случае представляют собой эллипсоиды, уравнение кот. в канонической форме имеет вид:

(12)

Объем эллипсоида с полуосями a, b, c равен:

Объем слоя заключенного между двумя эллипсоидами равной энергии Е=const и E+dE=const, будет:

(14)В объеме dVp с учетом спина заключено следующее кол-во квантовых состояний:

(15)

Поэтому выраж. для плотности состояний у дна сложной З.П. примет вид:

Если положить m1m2m3=mdn*³ , где mdn* - эф. масса плотности состояний для электронов. При этом, как и для простой зоны получим:

(17)

Плотность состояний для кремния и германия. Для кремния m1=m2 (18)

Изоэнергетические поверхности обеих зон можно заменить одной приведенной сферой с плотностью состояний:

Для Ge выраж. (17).

Ф-ція розподілу Фермі-Дірака для електор. та дірок. Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, нужно знать ф-цию распределения f(E). В условиях теплового равновесия для частиц с полуцелым спином,подчиняющихся принципу Паули, справедливо распределение Ферми-Дирака:

где k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная тем-ра; F — энергия Ферми или химич. потенциал, т. е. работа, ко­т. необходимо затратить для изменения числа частиц в системе на единицу. Рассмотрим вид ф-ции распред. Ферми-Дирака при различных тем-рах. Из соотнош. (1) видно, что в случае Т=0 в интервале энергии 0≤Е<F имеем fo=1 и fo=0 для Е>F. Это означает, что все квантовые состояния с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами, а уровни, лежащие выше уровня. Ферми, полностью свободны, не заняты электро­нами. Следоват., энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при т-ре абсол. нуля.

Рассмотрим случай, когда Т>0. Из выраж (1) для знач. энергии, равной знач. энергии Ферми (Е=F), имеем fo =1∕2.Т.о., ур. Ферми есть энергетический уровень, вероятность заполнения кот. при т-ре, отличной от абсол. нуля, равна 0,5. Вероятность заполнения состояний за­метно отличается от единицы или нуля лишь в пределах (2÷3) kT вблизи значения Е = F (рис. 1).

Рис.1. Вид ф-ции распределения Ф-Д.

Ф-ция распред. Ферми-Дирака хар-т вероятность заполнения данного квантового состояния электроном. Вероятность того, что при тепловом равновесии в состоянии с энергией Е электрон отсутствует, т.е. оно занято дыркой, будет равно:

Следовательно, функция распределения для дырок аналогична функции распределения для электронов, если отсчитывать энергию дырок от уровня Ферми в противоположную сторону по сравнению с направлением отсчета энергии для электронов.

Для электронов, находящихся в состояниях с энергией E—F > kT, выражение для f₀ принимает вид:

т. е. совпадает с ф-цией распределения Максвелла-Больцмана для частиц, подчиняющихся классическим законам.