61.Фурье перетворення дискретных сигналiв

Дискретное преобразование Фурье

реальные сигналы могут быть описаны выборками как в спектральной, так и во временной области. И дискретный спектр, и дискретный сигнал полностью описывают исходный непрерывный сигнал. Непосред­ственный переход от дискретного сигнала к дискретному спектру и наоборот возможен с использованием дискретного преобразования Фурье.

дискретное преобразование Фурье не всегда точно описывает спектр исходного непрерывного сигнала, подобно тому, как дискретизированный сигнал не всегда точно описывает исходный непрерывный сигнал. Однако связь между дискретным сигналом и его дискретным преобразованием Фурье всегда носит взаимно однозначный характер и формулы прямого и обратного преобразований Фурье являются строгими при любом числе дискретных значений. формулу дискретного преобразования Фурье записывают в виде

При этом обратное дискретное преобразование Фурье имеет вид

Значения S_n, вычисленные по формуле (3.14), отлича­ются от выборочных значений спектра S_f(n ) непрерыв­ного колебания f(t) в Т раз. Для определения выборочных значений S_f(nQ) надо значения S_n вычисленные по фор­муле (3.14), умножить на величину интервала дискрети­зации по времени Т:

преобразования (3.14), (3.15) являются взаимно обратными.

Таким образом, при последовательном применении к любой числовой последовательности прямого и обратного дискретного преобразования Фурье получают в результате ту же последовательность.

Одно из основных применений дискретного преобразования Фурье - это вычисление спектров функций, заданных графически или таблично. Дискретное преобразование Фурье можно применять при обработке экспериментальных данных, например в тех случаях, когда надо найти энергетический спектр по корреляционной функции сигнала.

Другое важдое применение дискретного преобразова­ния Фурье — вычисление сигнала на выходе фильтра с заданной частотной характеристикой. если задан входной сигнал , то для него можно вычислить дискретное преобразование Фурье . Если теперь умножим Si(nQ) на частотную характеристику фильтра, то получим дискретное преобразование Фурье выходного сигнала: . После этого с помощью обратно­го дискретного преобразования Фурье можно найти сигнал на выходе фильтра.

Если входной сигнал имеет большую длительность, его обработку с помощью дискретного преобразования Фурье можно производить по частям. Для этого берут пер­вые N отсчетов входного сигнала, вычисляют их дискрет­ное преобразование Фурье и после умножения на частот­ную характеристику фильтра с помощью обратного дискрет­ного преобразования Фурье вычисляют первые N отсчетов выходного сигнала. После этого аналогичным путем обра­батывают следующие N отсчетов входного сигнала и т. д. Для повышения точности обработки сигнала обрабатывае­мые серии отсчетов могут частично перекрываться.

Обработку сигналов с помощью дискретного преобра­зования Фурье нельзя назвать цифровой фильтрацией в полном смысле слова. Обычные цифровые фильтры, работающие в реальном масштабе времени, производят обра­ботку сигнала непрерывно по мере его поступления, а вы­числение выходного сигнала с помощью дискретного пре­образования Фурье может быть произведено лишь после того, как станет известным полностью входной сигнал или хотя бы первая серия из N его отсчетов. Поэтому при ис­пользовании дискретного преобразования Фурье выход­ной сигнал может быть получен только с некоторым запаздыванием по отношению к входному

сигналу. Однако в ряде практических применений такое запаздывание выходного сигнала не играет существенной роли, и тогда обработка сигналов с использованием дискретного преобразования Фурье оказывается целесообразной.