2.3.2. Экспериментальные методы оценивания параметров

В этой связи интерес представляют лишь количественные параметры, поскольку «значения» качественных признаков (например, наличие или отсутствие дефекта) обычно являются результатом контроля (сравнения с установленными требованиями) значений некоторых количественных параметров. Будем рассматривать лишь абсолютные, единичные параметры. Экспериментальные методы оценивания будем классифицировать по двум признакам. В зависимости от степени непосредственности оценивания различают прямые и косвенные методы (или методы косвенного оценивания). В зависимости от учета погрешности различают точечные и интервальные методы.

Косвенный метод оценивания отличается от прямого тем, что измерению здесь подлежит не интересующий нас параметр х, а другой, косвенный, – y, статистически связанный с х обычно с помощью одной из регрессионных моделей: X = g(y) +  или Y = f(x) + , где  и  – случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и известными дисперсиями , . Функции g(y) или f(x) должны быть известны (они часто являются линейными). Они, как и дисперсии, определяются на этапе планирования и проведения эксперимента. В общем случае в одной модели (в виде системы уравнений) может быть задействовано несколько прямых и несколько косвенных параметров [28]. Чем меньше дисперсии, тем точнее оценивается прямой параметр х с помощью косвенных. При детерминированной связи между прямым и косвенным параметром (когда дисперсии равны 0) оценивание называют обычно не косвенным, а прямым. Применяются и другие статистические модели.

Точечный метод оценивания предполагает получение единственного значения параметра, которое в математической статистике называют точечной оценкой. Его используют тогда, когда оценивание осуществляют лишь для последующего сравнения значения параметра с требованиями, устанавливаемыми с учетом погрешности оценивания.

В противном случае используют интервальный метод оценивания. Интервальной оценкой является интервал наиболее вероятных значений. При этом вероятность того, что значение параметра находится в указываемом интервале, берут близкой к единице, а сам интервал выбирают таким, чтобы его длина (при фиксированной вероятности) была если не наименьшей, то близкой к этому.

Интервал, симметричный относительно точечной оценки х, записывают в виде х  , где  – абсолютная погрешность оценивания. Величину  часто принимают равной 3, где  – среднее квадратичное отклонение результата оценивания, как случайной величины. В более общем случае  = u_p, где u_p – квантиль, соответствующий определенной вероятности нахождения истинного значения параметра в заданном интервале. Значения вероятностей обычно выбирают от 0,8 до 0,999. Используется также относительная погрешность:  = (/х)100%. Интервал может быть и несимметричным: х .

Если оцениванию подлежит детерминированный параметр путем однократного измерения с помощью технических средств измерений, то точечной оценкой х является результат измерения, а величина  (либо ₁ и ₂) в общем случае является суммой четырех погрешностей: инструментальной, субъективной (человеческий фактор), внешнеобусловленной (обусловлена колебаниями состояния окружающей среды: температуры воздуха, влажности и т.д.) и внутреннеобусловленной (обусловлена изменением внутреннего состояния продукции после технологической операции, например, изменением напряженного состояния после термообработки). Инструментальную погрешность получают из паспорта на средство измерений или из методики измерений. При косвенном оценивании она обычно включает в себя и погрешность модели зависимости между прямым и косвенными параметрами. Субъективная погрешность предварительно оценивается опытным путем и зависит от квалификации и состояния здоровья контролера, нормы на выполнение измерительной операции. Величина  (либо ₁ и ₂) наряду с погрешностью, вызываемой случайными факторами, может учитывать максимально возможную систематическую погрешность. При косвенном оценивании с помощью регрессионных моделей основная погрешность – инструментальная, интервал иногда называют толерантным (он зависит от или ), включающим в себя и доверительный интервал для условного математического ожидания g(y) или f(x) соответственно случайной величины Х или Y. Ширина доверительного интервала зависит от объема выборки при проведении эксперимента для построения регрессионной модели.

Если оцениванию подлежит статистический параметр либо детерминированный путем многократных измерений в одной точке, то в качестве точечной оценки принимают обычно несмещенную оценку (ее математическое ожидание равно нулю), а абсолютную погрешность  (либо ₁ и ₂) можно сделать (при отсутствии систематической погрешности) практически сколько угодно малой за счет увеличения объема выборки. Интервал называют доверительным, его оценивают методами математической статистики и часто представляют в виде [х_н, х_в], с указанием доверительной вероятности. При записи доверительного интервала в виде х   величина  также может приниматься равной 3, где  определяется по-разному, в зависимости от вида статистического параметра и вида распределения случайной величины, причем  уменьшается с ростом объема выборки. В частности, при оценивании математического ожидания (например, средней прочности изделий одной партии) случайной величины (прочности изделия), распределенной по нормальному закону, величина х есть среднее арифметическое, доверительная вероятность р = 0,9973, а  = , где ₁ – среднее квадратичное отклонение случайной величины, а n – объем выборки. Рассмотрим задачу интервального оценивания группового параметра, являющегося средним значением (математическим ожиданием) индивидуальных параметров изделий одной партии.

Задача. Известно, что предел прочности Х (в кг/мм²) детали, взятой из партии продукции объема N = 200, можно считать подчиненным нормальному закону с дисперсией (постоянной от партии к партии) DX = 16 кг²/мм⁴. Заметим, что Х > 0, а нормальный закон допускает и отрицательные значения, но во многих случаях это настолько маловероятно, что этим можно пренебречь. Из партии наугад взято 5 деталей и у каждой измерен предел прочности. Получены следующие значения (выборка): х₁ = 65, х₂ = 67, х₃ = 69, х₄ = 71, х₅ = 78. Требуется определить доверительный интервал для математического ожидания MX = а при доверительной вероятности р = 0,95, т.е. чтобы выполнялось условие: где – среднее арифметическое значение как случайная величина, Р – вероятность выполнения неравенства, указанного в скобках.

Находим точечную оценку для MX и среднее квадратическое отклонение:

По таблицам значений для интеграла Лапласа (см. приложение в [6, 29]) или с помощью компьютера определяем квантиль u_p = 1,96 как корень уравнения:

2Ф(u_p) = 0,95, где

Тогда

Получили доверительный интервал: (66,5; 73,5). Это означает, что истинное среднее значение предела прочности среди изделий всей партии принадлежит этому интервалу с вероятностью 0,95.

Методы оценивания статистических параметров зависят еще от характера и однородности экспериментальной информации в выборке. Если выборка полная (известны все значения индивидуального параметра, например, наработки до отказа), то используются классические методы математической статистики. Но это бывает не всегда. Ниже приведены планы испытаний на надежность, для каждого из которых используются свои методы оценивания.

Планы испытаний на надежность. В ГОСТ 27.002-89 [4] установлено 13 планов испытаний на надежность. Ниже приводятся некоторые из них. Здесь использованы следующие обозначения: N – число объектов, которые ставятся на испытания, U – объекты не восстанавливают и не заменяют, R – отказавшие объекты заменяют новыми, M – объекты восстанавливают, T – время испытаний или наработка для каждой позиции (стенд, площадка и т.д.), T_ – суммарное время испытаний или наработка, r – число отказов. Конкретные значения параметров Т, T_, r являются критериями прекращения испытаний.

1) План [N U T]. Эта запись означает, что на испытания ставят N объектов, их не восстанавливают и не заменяют, испытания прекращают по достижении наработки Т. Тогда неотказавшие объекты имеют одну и ту же наработку – Т.

2) План [N U r].Он отличается от предыдущего тем, что испытания прекращают по достижении r отказов.

3) План [N U (r, Т)]. Испытания прекращают по достижении r отказов или наработки Т.

4) План [N R T]. На испытания ставится N объектов, отказавшие объекты заменяют новыми, испытания прекращают по достижении наработки Т.

5) План [N R r]. Аналогичен второму плану.

6) План [N R (r, Т)]. Аналогичен третьему плану.

7) План [N M T]. Здесь на испытания ставится N объектов, отказавшие объекты восстанавливают, испытания прекращают по достижении наработки Т.

8) План [N M T_]. Испытания прекращают по достижении наработки T_.

Во всех перечисленных планах информацией, подлежащей обработке, обычно является так называемая цензурированная выборка. Ее особенность состоит в том, что наработки до отказа одних объектов известны, а других – нет, но известно, что их наработки до отказа t_i  _i, где _i – наработка i–го изделия к моменту окончания испытаний. При использовании первых трех планов испытаний выборка однократно цензурированная, так как все _i =, причем  = T для первого плана. Для второго и третьего – _i = , причем  – величина случайная. В других случаях _i могут быть разными и случайными. Полная выборка будет иметь место только при r = N для второго плана. Методы обработки информации, представленной цензурированными выборками, изложены в работах [30–32].