Кривые второго порядка
Рассмотрим линии, уравнение которых в декартовой системе координат являются алгебраическими уравнениями второй степени, т.е. будем рассматривать алгебраические кривые второго порядка.
Общее уравнение кривых второго порядка:
Нормальное уравнение
окружности радиуса
с центром в точках
и
соответственно имеет вид:
Каноническое уравнение эллипса (координатные оси совпадают с осями эллипса):
где и – оси эллипса:
и
– фокусы эллипса, если
Каноническое уравнение гиперболы (оси координат совпадают с осями гиперболы):
,
где и – соответственно действительная и мнимая полуоси гиперболы;
и
– фокусы эллипса, если
.
Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат имеет вид:
(если она симметрична
относительно оси
),
или
,
(если она симметрична относительно оси
Задача 3.
Определить расположение и вид следующих кривых второго порядка:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение:
1)
Выделим полные квадраты
Это уравнение
эллипса, центр которого лежит в точке
,
а полуоси равны
2)
Это уравнение
кривой, выродившейся в точку
3)
Уравнение является
уравнением гиперболы с центром в точке
и полуосями, равными
;
.
4)
Это уравнение
является уравнением пары прямых
,
,
пересекающих в точке
5)
Это уравнение
является уравнением параболы с осью
симметрии, параллельными влево, с
вершиной
и фокальным параметром
6)
Полученное уравнение
является уравнением параболы с осью
симметрии, направленными вверх, с
вершиной
и фокальным параметром
Вопросы для самоконтроля по теме «Аналитическая геометрия»
1. Векторы на плоскости. Основные понятия и определения.
2. Линейные операции над векторами в векторной форме. Проекция вектора.
3. Условия ортогональности и коллинеарности векторов на плоскости.
4. Векторы в пространстве, действия над векторами, заданными своими координатами в пространстве.
5. Векторное произведение векторов, формулы для его вычисления.
6. Свойства векторного произведения векторов.
7. Смешанное произведение векторов, геометрический смысл смешанного произведения векторов.
8. Прямая на плоскости, уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
9. Каноническое уравнение прямой.
10. Уравнение прямой, проходящей через точку, параллельно данному вектору и уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.
11. Уравнение прямой в отрезках и параметрическое уравнение прямой.
12. Общее уравнение прямой на плоскости.
13. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
14. Уравнения плоскости в пространстве.
15. Уравнение прямой в пространстве (параметрическое, каноническое, через две данные точки, прямая как пересечение двух плоскостей).
16. Взаимное расположение плоскостей в пространстве, прямых в пространстве, прямой и плоскости в пространстве.
17. Кривые второго порядка.
18. Уравнение окружности.
19. Эллипс, его уравнения и характеристики.
20. Гипербола, ее уравнения и характеристики.
21. Парабола, ее уравнения и характеристики.
22. Поверхности второго порядка.
23. Сфера, ее уравнения и характеристики.
24. Эллипсоид, его уравнения и характеристики.
25. Гиперболоид, его уравнения и характеристики.
26. Параболоид, его уравнения и характеристики.
27. Как определяется расстояние между двумя точками?
28. Формула деления отрезка в данном отношении.
29. Как определить угол между двумя прямыми?
30. Как найти расстояние от точки до прямой?
31. Как определить угол между двумя плоскостями?