Алгоритм симплексного метода

Графический метод решения задачи линейного программирования является простым и наглядным. Однако главным его недостатком является то, что этот метод применяется только для задач с переменными. Симплексный метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, записанную в  каноническом виде. Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Алгоритм симплексного метода.

1. Математическая модель задачи должна быть канонической. Если она не каноническая. То ее надо привести к каноническому виду.

2. Находим исходное опорное решение и проверяем его на  оптимальность. Для этого заполняем симплексную таблицу. Все  строки таблицы 1-го шага, за исключением строки (индексная  строка), заполняем по данным системы ограничений и  целевой функции.

ni	Aj	n1	n2	…	nm	nm+1	…	nn	L(x)
		x1	x2		xm	xm+1		xn	bi
n1	x1	1	0		0	h1,m+1		h1,n	f1
n2	x2	0	1		0	h2,m+1		h2,n	f2
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
nm	xm	0	0		1	hm,m+1		hm,n	f3
		0	0	…	0		10

Индексная строка для переменных находится по формуле

и по формуле

для свободного члена.

Возможны следующие случаи при решении задачи на максимум:

- если все оценки то найденное решение оптимальное;

- если хотя бы одна оценка но при соответствующей переменной нет ни одного положительного коэффициента, решение задачи прекращением, т.к. т.е. целевая функция неограниченна в  области допустимых решений ОДР;

- если хотя бы одна оценка отрицательная, а при соответствующей переменной есть хотя бы один положительный коэффициент, то нужно перейти к другому опорному решению;

- если отрицательных оценок в индексной строке несколько, то в  столбец базисной переменной (БП) вводят ту переменную, которой соответствует наибольшая по абсолютной величине отрицательная оценка.

Если хотя бы одна оценка то -й столбец принимаем за ключевой.  За ключевую строчку принимаем ту, которая соответствует минимальное отношение свободных членов к положительным коэффициентам -го столбца.

Этот элемент, находящийся на пересечении ключевых строки и  столбца, называется ключевым элементом.

3) Заполняем симплексную таблицу 2-го шага:

- переписываем ключевую строчку, разделив ее на ключевой элемент;

- заполняем базисные столбцы;

- остальные коэффициенты таблицы находим по правилу «прямоугольника».

Оценки модно считать по приведенным выше формулам. Получаем новое опорное решение, которое проверяем на оптимальность и т.д.

Правило «прямоугольника» заключается в следующем. Путь ключевым элементом 1-го шага является элемент 1-й строчки -го столбца . Тогда элемент -й строки -го столбца 2-го шага – обозначим его – согласно правилу «прямоугольника» выражается формулой

,

где , , – элементы первого шага.

Примечание.  Если целевая функция требует нахождения минимального значения, то критерием оптимальности задачи является неположительность оценок при всех .

Пример 2.  Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя разными способами.

Расход ресурсов за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства даны в таблице:

Производственные ресурсы	Расход ресурсов за 1 месяц при работе		Общий ресурс
	1-ым сп.	2-ым сп.
сырье	1	2	4
оборудование	1	1	3
электроэнергия	2	1	8

При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий, при втором – 4 тыс. изделий. Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

Решение.

Составим математическую модель: – время работы предприятия 1-ым способом; – время работы предприятия 2-ым способом.

при ограничениях:

Приведем задачу к каноническому виду:

при ограничениях:

Составляем симплексную таблицу 1-го шага.

Получим решение: В индексной строчке имеются две отрицательные оценки, значит, найденное решение не является  оптимальным и его можно улучшить. В качестве ключевого столбца следует принять столбец базисной переменой , а за ключевую строку взять строку переменой , где

Ключевым моментом является 2.

Вводим в столбец базисной переменной , выводим . Составляем симплексную таблицу 2-го шага.

Вводим в столбец базисной переменной . Составляем симплексную таблицу 2-го шага.

ni	Aj	3	4	0	0	0	L (x)
		X1	X2	X3	X4	X5	bi
4	X2	½	1	½	0	0	2
0	X4	½	0	-1/2	1	0	1
0	X5	3/2	0	-1/2	1	1	6
		-1	0	2	0	0	8

Получим В индексной строке имеется одна отрицательная оценка. Полученное решение можно улучшить. Ключевым элементом является ½. Составляем симплексную таблицу 3-го шага.

ni	Aj	3	4	0	0	0	L (x)
		X1	X2	X3	X4	X5	bi
4	X2	0	1	1	-1	0	2
3	X1	1	0	-1	2	0	1
0	X5	0	0	1	-3	1	6
		0	0	1	2	0	10

Все оценки свободных переменных следовательно, найденное опорное решение является оптимальным:

Таким образом, по правому способу предприятие должно работать два месяца, по второму один месяц, при этом максимальный выпуск продукции составляет 10 тыс.ед.