Экстремумы функции

Определение: Точка называется точкой максимума функции на некотором промежутке , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство . Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значение функции в точках максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции, или экстремумом функции.

Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции:

Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то .

Достаточные условия существования экстремума кратко можно сформулировать так: если функция непрерывна в точке и в некоторой ее окрестности и ее производная при переходе через меняет знак с «+» на «-», то функция в точке имеет максимум; если же производная при переходе через точку меняет знак с минуса на плюс, то в точке функция имеет минимум.

Для нахождения экстремума функции нужно:

Найти точки, принадлежащие области определения функции , в которых ее производная равна или не существует, т.е. найти критические точки функции по первой производной.
Исследовать знак в некоторой окрестности каждой критической точки. При этом, если меняет знак при переходе через такую точку, то функция в этой точке имеет экстремум. Если же не меняется при переходе через рассматриваемую точку, то функция не имеет экстремума в этой точке.

Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость

Пусть в точке кривая имеет касательную, не параллельную .

Определение: Кривая называется выпуклой (вогнутой) в точке , если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже (выше) касательной, проведенной в точке .

Определение: Точка называется точкой перегиба кривой , если с одной стороны от кривая вогнута, а с другой стороны кривая выпукла.

Таким образом, если в точке кривая меняет выпуклость на вогнутость (или наоборот), то точка является точкой перегиба. Из этого определения непосредственно следует, что касательная в точке перегиба кривой пересекает эту кривую.

Для кривых можно сформулировать правила исследования на выпуклость, вогнутость и перегиб:

Находим точки, в которых или вторая производная функции не существует. Такие точки называются критическими точками функции по второй производной.
Эти точки разделят область определения функции на интервалы, в каждом из которых сохраняет знак.

Если в рассматриваем интервале , тот это интервал вогнутости, если же , то это интервал выпуклости.

Точки перегиба выделяются автоматически: они разделяют интервалы выпуклости и вогнутости.

Асимптоты плоских кривых

Определение: Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат или, что то же, когда расстояние точки от начала координат неограниченно растет.

Для того чтобы кривая имела асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы