- •Математика
- •Введение
- •Студенты должны знать:
- •Приобрести практические навыки:
- •Содержание разделов дисциплины «Математика»
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи
- •Контрольная работа № 1 включает задания по следующим темам:
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры
- •Определители третьего порядка
- •Применение определителей к решению систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с – неизвестными
- •Рассмотрим решения типовых заданий по теме «Линейная алгебра»
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейная алгебра»
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Аналитическая геометрия»
- •Тема 3. Введение в анализ Последовательность, предел последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах функции
- •Некоторые приемы вычисления пределов функций
- •Имеем , тогда . Непрерывность функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Введение в анализ»
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
- •Основные правила дифференцирования
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Возрастание и убывание функций
- •Экстремумы функции
- •Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость
- •Асимптоты плоских кривых
- •Построение графиков функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции нескольких переменных
- •Понятие предела для функции двух переменных
- •Определение: Градиентом функции называется вектор с координатами , в точке . По определению
- •Экстремумы функций нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»
- •Тема 6. Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Простейшие свойства неопределенного интеграла
- •Основные приемы интегрирования
- •Общие приемы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Неопределенный интеграл»
- •Тема 7. Определенный интеграл
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальные уравнения»
- •Тема 9. Ряды Общие сведения
- •Свойства рядов
- •Ряды с неотрицательными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Ряды»
- •Тема 10. Элементы Теории вероятностей Формулы комбинаторики
- •Совместные и несовместные события
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
- •Вопросы для самопроверки по теме «Теория вероятностей»
- •Тема 11. Комплексные числа Основные понятия
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Комплексные числа»
- •Тема 12. Элементы линейного программирования Общая постановка задачи
- •Решение систем линейных неравенств с двумя переменными
- •Графический метод. Выбор оптимального варианта
- •Алгоритм симплексного метода
- •Транспортная задача
- •Метод потенциалов
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейное программирование»
- •Контрольная работа № 1 (первый семестр)
- •Контрольная работа № 2 (второй семестр)
- •Контрольная работа № 3 (третий семестр)
- •Контрольная работа № 4 (четвертый семестр)
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольных работ
- •Формы и содержание отчетности студентов
- •Вопросы к экзамену (1 семестр)
- •Вопросы к зачету (2 семестр)
- •Вопросы к зачету (3 семестр)
- •Вопросы к экзамену (4 семестр)
- •Список литературы
- •Математика
- •1 62600, Череповец, ул. Сталеваров, 44
Уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка
Для решения уравнения сделаем замену
,
Пример 5.
Заменим , получим
, отсюда , т.е.
Повторив еще трижды замену, найдем
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , где , – некоторые действительные числа, – некоторая функция. Если тождественно равна нулю, то соответствующее уравнение называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Рассмотрим решение однородного дифференциального уравнения . Ему ставится в соответствие характеристическое уравнение: , где переменная.
Если характеристическое уравнение имеет действительные корни и , причем , то общее решение уравнения имеет вид: .
Если характеристическое уравнение имеет один корень (кратности 2), то общее решение уравнения имеет вид: .
Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни , то общее решение уравнения имеет вид:
, где , – действительные числа.
Пример 6:
Найти общие решения дифференциальных уравнений:
а)
Составим характеристическое уравнение
, ,
Уравнение имеет два различных корня
, .
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
.
б)
Уравнение имеет два совпадающих корня или один корень кратности 2, , поэтому искомое общее решение дифференциального уравнения есть .
в)
Характеристическое уравнение будет
, .
Уравнение имеет комплексные корни , поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Рассмотрим решение неоднородного дифференциального уравнения. Один из способов решения уравнения основан на том, что общее решение неоднородного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного однородного уравнения.
Пример 7
Найти частные решения неоднородных уравнений:
Напишем характеристический многочлен . Его корнями являются числа и .
Так как и, можно полагать, , поэтому частное решение будем искать в виде . Подставляя эту функцию в исходное уравнение, после приведения подобных слагаемых и сохранения на приходим к равенству , которое удовлетворяется тождественно (при всех ), если
Откуда , и искомое частное решение имеет вид: .
Пример 8
Найти общее решение уравнения:
Решение:
Найдём корни характеристического уравнения: , тогда
, , тогда фундаментальную систему решений образуют функции:
Так как действительные мнимые решения в отдельности являются решениями уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений и , возьмем , , тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид: . Представим правую часть уравнения, как и сравним с выражением, задающим правую часть специального вида:
Имеем , , тогда т.к. – многочлен второй степени, то общий вид правой части: .
Найдем частные решения:
, ,
Сравним коэффициенты при слева и справа, найдем , , , решив систему: ,
отсюда .
Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:
.
Таким образом, при решении линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка возможны три случая решения характеристического уравнения.
Частные и общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка
№ |
Корни уравнения |
Частные решения |
Общее решение |
1 |
Действительные различные (к1 ≠ к2) |
|
y = |
2 |
Действительные равные (к1 = к2) |
|
y = |
3 |
Комплексно-сопряженные (α βi) |
|
|