Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана

Определение: Средним значением или математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется значение интеграла

, где – плотность вероятности.

Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

Определение: Дисперсией НСВ называется значение интеграла .

Данная формула более удобна вычисления дисперсии. Существует еще одна формула .

Определение: Модой непрерывной случайной величины называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна или то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения.

В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то  его называют бимодальным.

Определение:  Медианой непрерывной случайной величины называется такое её значение, при котором выполняется равенство. .

Геометрически медиану можно истолковать как точку, в которой ордината делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения.

Задача 15.  Случайная величина подчинена закону распределения с  плотностью , причем

Найти

1. коэффициент ;

2. построить график распределения плотности ;

3. найти вероятность попадания в промежуток .

Решение:

Т.к. все значения данной случайной величины заключены на , то

откуда , или , т.е. .

Имеем

Графиком функции на является парабола , а вне этого интервала графиком служит сама ось абсцисс.

3

0

1

2

х

  Вероятность попадания случайной величины в промежуток найдётся из равенства

Задача 16.  Случайная величина задана плотностью вероятности:

Найти , , .

Решение:

Для нахождения воспользуемся формулой . Отсюда

.

Вычислим по частям

= .

Находим значение первого слагаемого в выражении дисперсии:

.

Для вычисления надо дважды применить формулу интегрирования по частям

Окончательно .

Подставляя в выражение дисперсии полученные значения, находим

; .

Вопросы для самопроверки по теме «Теория вероятностей»

1. Испытания и события. Их классификация.

2. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности случайного события.

3. Основные понятия и формулы комбинаторики.

4. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

5. Полная группа событий, противоположные события.

6. Произведение событий.

7. Условная вероятность.

8. Теорема умножения вероятностей.

9. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.

10. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

11. Формула полной вероятности.

12. Вероятность гипотез. Формула Бейеса.

13. Формула Бернулли.

14. Случайная величина.

15. Дискретные и непрерывные случайные величины.

16. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

17. Биномиальное распределение случайной величины.

18. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

19. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.

20. Дисперсия дискретной случайной величины, его свойства.

21. Среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.

22. Закон больших чисел.

23. Определение функции распределения вероятностей случайной величины.

24. Свойства функции распределения вероятностей случайной величины.

25. График функции распределения случайной величины.

26. Определение плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

27. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в  заданный интервал.

28. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

29. Свойства плотности распределения непрерывной случайной величины.

30. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

31. Нормальное распределение непрерывной случайной величины.

32. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.