Контрольная работа № 1 включает задания по следующим темам:
Первое и второе задания по линейной алгебре включают алгебру матриц и решение систем линейных уравнений.
Третье задание по теории пределов включает правила раскрытия неопределённостей и свойства пределов.
Четвертое задание содержит задачи по исследованию функций на непрерывность.
Пятое задание содержит основы дифференциального исчисления.
Шестое задание проверяет практические навыки применения аппарата производной к исследованию функции и построения графика.
Седьмое задание включает исследование функций на экстремумы.
Восьмое задание включает аналитическую геометрию.
Контрольная работа № 2 включает задания по следующим темам:
Первое и второе задания на вычисление неопределённого и определённого интегралов.
Третье, четвертое и пятое задания включает основные виды обыкновенных дифференциальных уравнений.
Шестое задания проверяют навыки работы студентов с неоднородными дифференциальными уравнениями.
Седьмое и восьмое задания на применение признаков сходимости числовых рядов.
Контрольная работа № 3 включает задания по следующим темам:
Первое и второе задания включают понятия случайной величины и случайного события.
Третье задание на вычисление функции распределения непрерывной случайной величины, графического представления плотности распределения и функции распределения.
Четвертое, пятое и шестое задания проверяют знания студентов по теории комплексных чисел.
Контрольная работа № 4 включает задания по следующим темам:
Первое задание на графическую интерпретацию задачи линейного программирования.
Второе и третье задания на составление математической модели и решение задачи симплексным методом.
Четвертое задание содержит транспортную задачу.
Тема 1. Элементы линейной алгебры
Определители второго порядка и их свойства
Пусть дана
квадратичная таблица из четырёх чисел
(1).
Будем называть
такую таблицу матрицей, а составляющие
её числа
,
,
,
– элементами этой матрицы.
Определение:
Определителем (или, иначе, детерминантом)
второго порядка, соответствующим матрице
(1) называют число
,
равное
.
Таким образом,
,
где
– определитель, символа
.
Свойства определителя второго порядка
Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.
Доказательство:
Действительно,
пусть
,
Отсюда,
.
Свойство 2. При перестановке двух столбцов или двух строк определитель меняет только знак.
Доказательство:
Пусть
,
Тогда
.
Свойство 3. Определитель,
имеющий два одинаковых столбца (строки),
равен
.
Доказательство:
Если
,
то
.
Свойство 4. Если
все элементы какого-либо столбца (строки)
определителя умножить на одно и то же
число
,
то определитель умножится
на это число.
Доказательство:
Пусть
,
Тогда
.
Иногда свойство 4 формулируется следующим образом: Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя содержат общий множитель , то его можно вынести за знак определителя.
.
Свойство 5. Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) соответственно пропорциональны, равен нулю.
Доказательство:
Пусть
,
причём
Тогда
.
Свойство 6. Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у одного из них элементами соответствующего столбца (строки) являются первые слагаемые, у другого – вторые. Остальные элементы у этих двух определителей те же, что и у данного.
Доказательство:
Пусть
,
,
Тогда
.
Свойство 7. и свойство 6 выражают соответственно правило умножения определителя на число и правило сложения определителей.
Свойство 8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.
Доказательство:
Пусть
,
На основании свойств 6 и 5 имеем
,
т.е.
.