Уравнения с разделяющимися переменными

Определение:  Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в  виде: , то есть, если его правая часть есть произведение двух функций, одна из которых не зависит от , а другая от .

Пример 1.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Разделяя переменные и интегрируя, получаем: – общий интеграл данного уравнения во всей плоскости .

Пример 2.

Решить дифференциальное уравнение и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Приведем его к виду: .

Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы . Отсюда получаем Общий интеграл . Подставляем начальное условие : ,

отсюда получаем частный интеграл

Однородные уравнения

Определение:  Функция называется однородной -го измерения относительно своих аргументов и , если для любого имеет место тождество .

Например, однородная функция 3^го измерения относительно и , т.к. .

Сумма однородных функций одинакового измерения есть однородная функция того же измерения.

Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение которой равно сумме измерений сомножителей.

Частное однородных функций есть однородная функция. Её измерение равно разности измерений делимого и делителя.

Определение:  Дифференциальное уравнение называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения относительно своих аргументов. Однородным будет также всякое уравнение вида: , где и – однородные функции одинакового измерения.

С помощью замены , где – новая неизвестная функция, однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с  разделяющимися переменными.

Пример 3.

Найти общее решение уравнения .

Функция определена в областях где , т.е. имеет смысл. Полагаем , . При этом .

Получаем уравнение с разделяющимися переменными относительно :

,

Интегрируем левую часть по , правую по ; получаем , ,

Подставляя , находим – совокупность решений данного уравнения. Здесь – любое отличное от нуля число.

Линейные уравнения

Определение:  Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и её производной , т.е. оно может быть записано в виде: (1).

Если в этом уравнении правая часть не равна тождественно нулю, то это уравнение называется линейным неоднородным уравнением. Если же , то уравнение называется линейным однородным уравнением.

Рассмотрим сначала линейное однородное уравнение . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и  интегрируя, находим: ,

,

, где – произвольная постоянная, отличная от нуля.

Для отыскания решений линейного неоднородного уравнения применим метод вариации произвольной постоянной.

Выполним замену , где u и – новые функции от . Тогда уравнение (1) примет вид:

,

.

Если потребовать, чтобы выражение в квадратных скобках было равно 0, т.е. , но найдем сначала , а затем , а, следовательно, найдем .

Пример 4.

Решить дифференциальные уравнения:

а)   Это линейное уравнение первого порядка ; .

Выполним замену

,

.

Приравнивая к нулю выражение в скобках, получаем – уравнение с разделяющимися переменными.

отсюда

Подставляя в исходное уравнение. Находим :

,

отсюда , где – произвольная постоянная.

Получаем общее решение уравнения:

б)  

Сделав замену , получим

Сгруппируем второе слагаемое с третьим:

Приравниваем к в квадратных скобках, находим функцию :

;

Подставим , находим :

,

; ,

отсюда