Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Основные определения

При решении многих геометрических, физических и экономических задач приходится отыскивать неизвестную функцию по данному соотношению между этой неизвестной функцией, её производными и  независимыми переменными.

Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а  отыскание функции, удовлетворяющей уравнению, называется решением, или интегрированием, данного уравнения.

Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задача 1.

Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в  точке касания.

Решение:

Для решения этой задачи составим уравнение – . Этому уравнению удовлетворяет функция = , где – любое число.

Для того, чтобы определить соответствующее значение постоянной , достаточно задать точку ( ) через которую проходит одна из семейства равносторонних гипербол = . Например, через точку (2;4) будет проходить та кривая семейства, для которой 4 = , т.е. = 8.

Задача 2. (задача о радиоактивном распаде).

Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна наличному количеству радиоактивного вещества. При этом предполагается, что количество радиоактивного вещества в породе настолько мало, что не вызывает цепной реакции. Требуется найти закон распада вещества, т.е. найти зависимость количества радиоактивного вещества в породе от времени .

Решение:

Пусть количество радиоактивного вещества в породе в  момент времени . Скорость измерения количества вещества равна . Обозначив через k положительный коэффициент пропорциональности, запишем основной закон радиоактивного распада в виде: = – (знак «-» берется потому, что скорость распада отрицательна).

Легко убедиться в том, что любая функция , где – число, удовлетворяет этому уравнению.

Определение:  Обыкновенным дифференциальным уравнением -го порядка называется соотношение вида ,…, , где – функция определенная в некоторой области, – независимая переменная – искомая функция переменной , а – её производные.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной.

Решение дифференциального уравнения называется всякая функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Решение дифференциального уравнения, заданное неявно соотношением , называют интегралом этого уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.

Дифференциальное уравнение первого порядка

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: .

Если это соотношение разрешить относительно , то получится уравнение вида: . Оно называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Его всегда можно записать в так называемой дифференциальной форме: или .

Отыскание решения дифференциального уравнения , которое удовлетворяет заданным начальным условиям , является одной из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.