Метод потенциалов
Найденное исходное
опорное решение проверяется на
оптимальность методом потенциалов по
следующему критерию: если опорное
решение ТЗ является оптимальным, то ему
соответствует система
действительных чисел
и
,
удовлетворяющих условиям
+
=
для занятых клеток и
+
для свободных клеток.
Числа
и
называют потенциальными.
В
распределительную таблицу добавляют
строчку
и столбец
.
Потенциалы
и
находят из равенства
+
=
,
справедливого для занятых клеток. Одному
из потенциалов дается произвольное
значение, например
,
тогда остальные потенциалы определяются
однозначно. Так, если известен потенциал
,
то
;
если известен потенциал
,
то
.
Обозначим
.
Эту оценку называют оценкой свободных
клеток. Если
,
то опорное решение является оптимальным.
Если хотя бы одна из оценок
,
то опорное решение не является оптимальным
и его можно опорного решения к другому.
Проверим найденное опорное решение на оптимальность, добавив в распределительную таблицу столбец и столбец . Полагая , запишем это значение в первом столбце таблицы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
100 |
|
|
|
|
|
.
Для занятых клеток составляем систему уравнений:
.
Отсюда
,
,
,
,
.
Найденные значения потенциалов заносим в таблицу. Вычислим оценки свободных клеток:
Получили одну
оценку
следовательно, исходное опорное решение
не является оптимальным и его модно
улучшить.
Наличие положительной
оценки свободной клетки
при проверке опорного решения на
оптимальность свидетельствует о том,
что полученное решение неоптимально
и для уменьшения значения целевой
функции надо перераспределить грузы,
перемещая их из занятых клеток
в свободные. Свободная клетка
становится занятой, а одна из ранее
занятых клеток – свободной.
Для свободной клетки с строится цикл, все вершины которого кроме одной находится в занятых клетках; углы прямые, число вершин четное. Около свободной клетки цикла становится (+), затем поочередно проставляют знаком (–) и (+). У вершин со знаком (–) выбирают минимальный груз, его прибавляют к грузам, стоящим у вершин со знаком (+) и отнимают от грузов у вершин со знаком (–). В результате перераспределения груза получим новое опорное решение. Это решение проверяем на оптимальность, и т.д. до тех пор, пока не получим оптимальное решение.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
+ |
|
|
– |
|
|
|
|
|
– |
–
|
Новое опорное
решение
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
+ |
|
|
+ |
|
–
|
|
|
|
– |
8 – |
Произведем перераспределение грузов. Получим новое решение. Проверим его на оптимальность.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– |
– |
|
|
|
|
|
5 70 |
|
|
|
– |
8 – |
Все оценки свободных клеток отрицательные, следовательно, найденное решение оптимальное. Итак,
Стоимость
транспортных расходов равна:
усл. ед.
По сравнению с
исходными опорным решением транспортные
расходы уменьшились на
усл. ед.
При открытой ТЗ сумма запасов не совпадает с суммой потребностей. В этом случае вводят фиктивного поставщика или потребителя. При введении фиктивного поставщика или потребителя ОТЗ становится закрытой и решается по ранее рассмотренному алгоритму для ЗТЗ, причем тарифы, соответствующие фиктивному поставщику или потребителю, больше или равны наибольшему из всех транспортных тарифов, иногда их считают равными нулю.
В целевой функции фиктивный поставщик или потребитель не учитывается.