Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда

Определение:  Степенным рядом называется ряд (1), где коэффициенты степенного ряда. Если допустить только действительные значения для коэффициентов ряда и переменной, то получим степенной ряд в  действительной области, или действительный степенной ряд.

Ряд вида так же является степенным, так как сводится к данному ряду (1) с помощью замены переменной .

Определение: Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех значений при которых степенной ряд сходится. Число  – такое число, что при  – ряд сходится, а при  – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. При , ряд может, как сходится, так и расходиться. Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле: . Для  степенного ряда вида радиус сходимости находится по формуле , а интервал сходимости из условия , т.е. имеет

вид: .

Пример 16.  Найти области сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости ряда , т.е.  интервал сходимости ряда .

Выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. При ряд примет вид

По признаку Лейбница он сходится. При получаем ряд . Это обобщенный гармонический ряд. Так как , то этот ряд сходится. Область сходимости данного ряда.

Пример 17.  Найти область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости ряда:

, т.е. область сходимости ряда .

Пример 18.  Найти область сходимости степенного ряда

Найдем радиус сходимости ряда

.

Область сходимости ряда состоит из одной точки .

Вопросы для самоконтроля по теме «Ряды»

1. Числовой ряд. Основные понятия.

2. Необходимый признак сходимости числового ряда.

3. Гармонический ряд.

4. Признаки сравнения для сходимости числового ряда.

5. Признак Даламбера.

6. Признак Коши для сходимости ряда.

7. Интегральный признак для сходимости ряда.

8. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Основные понятия.

9. Признак Лейбница для сходимости знакочередующегося ряда.

10. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов.

11. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.

12. Степенные ряды. Основные понятия.

13. Свойства степенных рядов.

14. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

15. Теорема Абеля.

16. Свойства степенных рядов.

17. Формулы Тейлора и Маклорена.

18. Необходимое и достаточное условие сходимости степенного ряда.

Тема 10. Элементы Теории вероятностей Формулы комбинаторики

При классическом определении за вероятность события принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу возможных исходов : .

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому событию исходов или общего числа элементарных исходов широко используются формулы комбинаторики.

Если составляются такие комбинации из элементов по , которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из элементов по определяется по формуле .

Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и  порядком их следования, то они называются размещениями. Их число находится по формуле .

Если комбинации берутся из всех – элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками. Их  число равно