Тема 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции нескольких переменных
Определение: Переменная
называется функцией двух переменных
и
,
если каждой паре чисел
из некоторого множества по определенному
правилу или закону ставится в соответствие
одно или несколько значений переменной
.
Тот факт, что
переменная
является функцией переменных
и
,
обычно записывают в виде
.
При этом переменные
называются
независимыми переменными или аргументом,
а переменная
– зависимой переменной, или функцией.
Множество пар чисел , для которых определена функция , называется областью определения этой функции. Множество значений функции называется областью изменения этой функции. Закон соответствия может быть задан аналитически, таблично, графически, словесным образом и т.д. Математический анализ изучает преимущественно аналитически заданные функции.
Определение: Областью определения аналитически заданной функции называется совокупность всех пар чисел , которым соответствует действительные значения функции.
Так, например, для
функций
,
,
область определения – множество
всевозможных пар чисел
.
Для функции
область определения состоит из всех
пар чисел, для которых
т.е.
область определения функции
будет изображаться некоторым множеством
точек
плоскости. Функция
определена в прямоугольнике со сторонами
;
.
Функция двух
переменных
может быть геометрически изображена в
виде поверхности. Графиком функции
в пространстве
является поверхность, представляющая
собой геометрическое место
,
когда точка
пробегает область определения функции.
Для функции
изображающая её поверхность – параболоид
вращения. Функция
изображается нижней полусферой с центром
радиуса
.
Другим способом геометрической иллюстрации функции двух переменных является способ называемый линией уровня функции .
Определение: Линией уровня функции двух переменных называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно . Число в этом случае называется уровнем.
Понятие предела для функции двух переменных
Пусть
функция
задана в некоторой окрестности точки
,
кроме, быть может, самой этой точки.
Определение: Если
для последовательности точек
,
,
. . .,
,
окрестности, сходящейся к точке
,
соответствующая последовательность
знаний функций
,
,
. . .,
,
имеет пределом одно и то же число
,
то это число
называют пределом функции
при
,
и пишут
.
Геометрически
тот факт, что число
является пределом функции
при
,
означает, что, какова бы ни была
последовательность точек плоскости
,
,
. . .,
неограниченно приближающихся к точке
,
последовательность аппликат соответствующих
им точек поверхности, изображающей
функцию
имеет пределом число
.
Предел функции
при
,
определяется поведением функции вблизи
точки
и не зависит от значения функции в самой
этой точке.
Функция
,
определенная в некоторой окрестности
точки
,
называется непрерывной в этой точке,
если
Пример 1: Найти пределы:
а. 
б. 
в. 
г. 
Частные производные, градиент, дифференциал
Определение: Частными производными по и по называются пределы вида:
Вычисление частных производных по (по ) от конкретных функций производится по известным для функций одной переменной правилам, так как частная производная функции , рассматриваемой как функции одной переменной (соответственно ) при постоянном значении другой переменной.
Определение: Дифференциалом
функции
называется сумма произведений частных
производных этой функции на приращения
независимых переменных
или
,
учитывая, что
,
.
Производной
по направлению
функции
называется предел
.
Производная по направлению может быть
выражена через частные производные по
формуле
,
где единый вектор
задает направление
/
углами
и
,
образуемые с осями координат.