- •Математика
- •Введение
- •Студенты должны знать:
- •Приобрести практические навыки:
- •Содержание разделов дисциплины «Математика»
- •Раздел 1. Основы алгебры и анализа
- •Раздел 2. Интегральное исчисление. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ряды
- •Раздел 3. Теория вероятностей
- •Раздел 4. Численные методы и оптимизационные задачи
- •Контрольная работа № 1 включает задания по следующим темам:
- •Тема 1. Элементы линейной алгебры
- •Определители третьего порядка
- •Применение определителей к решению систем линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений с – неизвестными
- •Рассмотрим решения типовых заданий по теме «Линейная алгебра»
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейная алгебра»
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии Прямоугольная декартова система координат на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Аналитическая геометрия»
- •Тема 3. Введение в анализ Последовательность, предел последовательности
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах функции
- •Некоторые приемы вычисления пределов функций
- •Имеем , тогда . Непрерывность функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Введение в анализ»
- •Тема 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Производная функции. Геометрический и механический смысл производной
- •Основные правила дифференцирования
- •Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Возрастание и убывание функций
- •Экстремумы функции
- •Точки перегиба. Выпуклость и вогнутость
- •Асимптоты плоских кривых
- •Построение графиков функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
- •Тема 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Функции нескольких переменных
- •Понятие предела для функции двух переменных
- •Определение: Градиентом функции называется вектор с координатами , в точке . По определению
- •Экстремумы функций нескольких переменных
- •Вопросы для самопроверки по теме «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных»
- •Тема 6. Неопределенный интеграл Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •Простейшие свойства неопределенного интеграла
- •Основные приемы интегрирования
- •Общие приемы интегрирования
- •Интегрирование рациональных функций
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Неопределенный интеграл»
- •Тема 7. Определенный интеграл
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •Дифференциальное уравнение первого порядка
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения -го порядка, допускающие понижение порядка
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Дифференциальные уравнения»
- •Тема 9. Ряды Общие сведения
- •Свойства рядов
- •Ряды с неотрицательными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Ряды»
- •Тема 10. Элементы Теории вероятностей Формулы комбинаторики
- •Совместные и несовместные события
- •Случайные величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана
- •Вопросы для самопроверки по теме «Теория вероятностей»
- •Тема 11. Комплексные числа Основные понятия
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Комплексные числа»
- •Тема 12. Элементы линейного программирования Общая постановка задачи
- •Решение систем линейных неравенств с двумя переменными
- •Графический метод. Выбор оптимального варианта
- •Алгоритм симплексного метода
- •Транспортная задача
- •Метод потенциалов
- •Вопросы для самоконтроля по теме «Линейное программирование»
- •Контрольная работа № 1 (первый семестр)
- •Контрольная работа № 2 (второй семестр)
- •Контрольная работа № 3 (третий семестр)
- •Контрольная работа № 4 (четвертый семестр)
- •Методические указания по выполнению и оформлению контрольных работ
- •Формы и содержание отчетности студентов
- •Вопросы к экзамену (1 семестр)
- •Вопросы к зачету (2 семестр)
- •Вопросы к зачету (3 семестр)
- •Вопросы к экзамену (4 семестр)
- •Список литературы
- •Математика
- •1 62600, Череповец, ул. Сталеваров, 44
Совместные и несовместные события
События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте. Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события образуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.
Теорема: Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.
или
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.
Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события , вычисленная при условии, что произошло событие , называется условной вероятностью события относительно события . Эта вероятность обозначается .
Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого: .
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий.
Если появление одного из событий не влияет на вероятность появления другого, то такие события называются независимыми.
Для независимых событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий
.
События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.
Теорема: Вероятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: .
В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как вероятность противоположного другому событию.
Пусть события , , . . ., независимы и известны вероятности этих событий: , , . . ., . Обозначив вероятности противоположных событий , , . . ., . Обозначив вероятности противоположных событий , , . . ., , найдем вероятность того, что ни одно из событий , , . . ., в опыте не наступит: . . . .
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя бы одного события, определяется как вероятность противоположного события
. . . .
Если некоторое событие совершается с одним из несовместимых событий , , . . ., , образующих полную группу событий, то для определения вероятности этого события может быть использована формула полной вероятности
,
где – вероятность события , – условная вероятность события .
Для определения вероятности события при условии, что произошло событие , используется формула Байеса . Если при проведении испытаний вероятность появления события не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.
Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно раз события в серии из – независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна :
, где , .
В ряде случаев требуется определитель вероятности появления события менее раз , более раз , не менее раз , не более раз . В этих случаях могут быть использованы формулы
,
,
,
.
При больших и малых вычисления по формуле Бернулли затруднены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона
, – пр.
Задача 1. В партии из деталей имеется стандартных. Наудачу отобраны деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно стандартных.
Решение:
Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь деталей из деталей, т.е. – числу сочетаний из элементов по .
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (среди деталей ровно стандартных): стандартных деталей можно взять из стандартных деталей способами; при этом остальные – деталей должны быть нестандартными; взять же – нестандартных деталей из – нестандартных деталей можно способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно
.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
.
Задача 2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями банкротов.
Решение:
Общее число элементарных исходов равно . Число благоприятствующих исходов определяется как произведение , где – число способов выбора АО – банкротов из четырех. Но с каждым способом такого выбора могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Таких будет . Искомая вероятность равна
;
;
;
.
Задача 3. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие ).
Решение:
I способ. Условие – хотя бы один из трех взятых учебников в переплете будет осуществлено, если произойдет любое из следующих трех несовместных событий: – один учебник в переплете,
– два учебника в переплете,
– три учебника в переплете.
Интересующее нас событие можно представить в виде суммы событий:
. По теореме сложения,
; ; ;
II способ. События (хотя бы один из взятых трех учебников имеет переплет) и (ни один из взятых учебников не имеет переплета) – противоположные, поэтому (сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице. Отсюда . Вероятность появления события (ни один из взятых учебников не имеет переплета) . Искомая вероятность .
Задача 4. Вероятности появления каждого из двух независимых событий и соответственно равны и . Найти вероятность появления только одного из этих событий.
Решение:
– появилось только событие ;
– появилось только событие .
Появление события равносильно появлению события появилось первое событие и не появилось второе, т.е. . Появление события равносильно появлению события (появилось второе событие и не появилось первое, т.е. . Таким образом, чтобы найти вероятность появления только одного из событий и , достаточно найти вероятность появления одного, безразлично какого из событий и . События и не совместимы, поэтому применима теорема сложения:
.
Остается найти вероятности каждого из событий и . События и независимы, следовательно, независимы события и , а также и , поэтому применима теорема умножения:
;
.
Подставив эти вероятности, найдем искомую вероятность появления только одного из и :
.
Задача 5. В цехе работают семь мужчин и три женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
Решение:
– первым отобран мужчина;
– вторым отобран мужчина. Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был мужчина, т.е. условная вероятность события следующая:
– третьим отобран мужчина.
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность события такова: . Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, .
Задача 6. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны ; ; ; .
Решение:
Мост будет разрушен (событие ), если хотя бы одна бомба попадет в цель.
.
Задача 7. На автозавод поступили двигатели трёх моторных заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго – 6 двигателей и от третьего – 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны ; ; . Найти вероятность того, что: а) установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока; б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе, на втором заводе?
Решение:
– наугад взятый двигатель проработает без дефектов;
Можно выдвинуть три гипотезы:
– двигатель изготовлен на первом заводе;
– двигатель изготовлен на втором заводе;
– двигатель изготовлен на третьем заводе.
Вероятности этих гипотез таковы: ; ; . Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов, найдем по формуле полной вероятности:
.
.
б) Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности того, что он изготовлен на первом, на втором заводах, найдём по формуле Байеса:
,
.
Задача 8. Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки « » равна . Найти вероятность того, что холодильник потребуется:
а) не менее чем двум покупателям;
б) не более чем трем покупателям;
в) всем четырем покупателям.
Решение:
а) не менее чем двум покупателям, – это означает, что потребуется двум покупателям, или трем или четырем.
Выясним эту вероятность, используя формулу Бернулли:
;
; ;
;
.
б) вероятность того, что холодильник потребуется не более чем трём покупателям означает, что никому не потребуется или одному покупателю, или двум. или трём, т.е.
;
;
в) вероятность того, что холодильник потребуется всем четырём покупателям, т.е.
.